Didaktische Hinweise:
Didaktische Hinweise
| Nummer | Name | Beschreibung |
|---|---|---|
| 1. | Didaktische Hinweise |
Theorie
| Nummer | Name | Beschreibung |
|---|---|---|
| 1. | Monotonie von Folgen | Diskussion der Monotonie von Folgen |
| 2. | Beschränktheit von Folgen | Illustration und Definition von beschränkten und unbeschränkten Folgen |
| 3. | Der Grenzwert einer Folge | Diskussion des Begriffes "Grenzwert einer Folge" |
| 4. | Konvergenz von Reihen | Diskussion der Konvergenz von Reihen |
| 5. | Motivation der Eulerschen Zahl | Einführung der Eulerschen Zahl, der zugehörigen Exponentialfunkion und des natürlichen Logarithmus |
| 6. | Die Eulersche Zahl und die Exponentialfunktion | Beschreibung der Eulerschen Zahl und der zugehörigen Exponentialfunktion |
Übungsbeispiele
| Nummer | Name | Art | Schwierigkeitsgrad | Punkte | Beschreibung |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Verständnisfragen | 1 - Rezeptiv | leicht | 1,5♦ | Theoriefragen zu Eigenschaften von Folgen |
| 2. | Monotonie erkennen | 1 - Rezeptiv | leicht | 1♦ | Erkennen der Monotonie dargestellter Folgen |
| 3. | Beschränktheit von Folgen | 2 - interpretativ | leicht | 1♦ | Bestimmen, ab wann die Folgenglieder erstmals über eine gegebene Schanke wachsen |
| 4. | Berechnung des Grenzwertes | 1 - Rezeptiv | leicht | 1♦ | Eine Folge ist durch einen Bruch angegeben, Zähler und Nenner sind linear in n. |
| 5. | Bestimmung des Index des Folgegliedes | 2 - interpretativ | leicht | 1♦ | Umgebung des Punktes, Intervall, Ordnungsnummer (Index) der Folge, ausführliche Berechnung |
| 6. | Grenzwert der Folge, die durch die Exponentialfunktion angegeben ist | 1 - Rezeptiv | leicht | 1♦ | Exponentialfunktion mit dem negativen Grad. |
| 7. | Umgebung des Punktes | 1 - Rezeptiv | leicht | 1,5♦ | Darstellung der Umgebung des Punktes als ein Intervall, der Radius ist bekannt |
| 8. | Monotonie für explizit gegebene Folgen | 2 - interpretativ | mittel | 2,5♦ | Für ein paar explizit gegebene Folgen das Monotonieverhalten untersuchen |
| 9. | Monotonie für rekursive Folgen | 2 - interpretativ | mittel | 2♦ | Aus einer Liste von rekursiv definierten Folgen die monotonen erkennen |
| 10. | Limes | 3 - analytisch | mittel | 2♦ | Bestimmen des Limes einer explizit gegebenen Folge, und berechnen, ab welchem Index die Folgenglieder näher als ein epsilon bei dem Limes sind |
| 11. | Divergenz der geometrischen Folge | 2 - interpretativ | mittel | 2♦ | Divergenz der geometrischen Folge: Finden des kleinsten Index, ab dem dem die geometrische Folge über eine gegebene Schranke wächst (TR notwendig) |
| 12. | Kein Grenzwert | 2 - interpretativ | mittel | 2,5♦ | Nachvollziehen, dass eine gegebene Zahl kein Grenzwert einer Folge ist |
| 13. | Exponentialreihe | 2 - interpretativ | mittel | 2,5♦ | Berechnung von Näherungswerten von e^x über die Potenzreihe |
| 14. | Approximation durch Folgen | 2 - interpretativ | mittel | 2♦ | Bestimmen des ersten Folgengliedes, das e^x besser als ein gegebener Fehler approximiert |
| 15. | Berechnung des Grenzwertes der Folge | 2 - interpretativ | mittel | 2,5♦ | Eine Folge ist durch einen Bruch angegeben, dessen Zähler und Nenner Polynome in n sind. Der Grenzwert soll bestimmt werden. |
| 16. | Grenzwert der Folge | 2 - interpretativ | mittel | 2♦ | Der Grenzwert einer analytisch gegebenen Folge soll bestimmt werden. |
| 17. | Grenzwert der Folge, die durch den Bruch angegeben ist | 2 - interpretativ | mittel | 2♦ | Bestimmung des Grenzwertes |
| 18. | Index des Gliedes der Folge, die in der Umgebung von Punkt liegt | 2 - interpretativ | mittel | 2♦ | Bestimmung des Index des Folgegliedes, Radius des Punktes, während der Lösung wird die Ungleichung erfüllt |
| 19. | Umgebung von b mit dem Radius r | 3 - analytisch | mittel | 2♦ | Bestimmung des Index, ab dem die Glieder außerhalb eines gegebenen Intervalls liegt |
| 20. | Approximation von Pi | 2 - interpretativ | mittel | 2,5♦ | Reihe, die gegen Pi²/6 konvergiert: Berechne damit eine Näherung von Pi. |
| 21. | Einseitige Beschränktheit | 2 - interpretativ | mittel | 2♦ | Feststellen der einseitigen Beschränktheit von Folgen |
| 22. | Newton-Verfahren | 3 - analytisch | schwer | 3♦ | Newton-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln, Bestimmung den Grenzwertes der entsprechenden rekursiven Folge |
| 23. | Grenzwert | 3 - analytisch | schwer | 3♦ | Grenzwert einer explizit gegebenen rationalen Folge: Finde ein n, ab dem die Folge näher als epsilon am Grenzwert ist. |
| 24. | Natürlicher Logarithmus | 3 - analytisch | schwer | 3,5♦ | Verwende Reihendarstellung des Logarithmus und der Exponentialfunktion, um a^b auszurechnen |
| 25. | Hüpfender Ball | 3 - analytisch | schwer | 4♦ | Ein hüpfender Ball kommt in endlicher Zeit zum Stillstand, die einzelnen Sprungzeiten sind die Glieder einer geometrischen Folge. Die Zeit bis zum Stillstand ist zu berechnen (geometrische Reihe). |
| 26. | Obere und untere Schranken | 3 - analytisch | schwer | 3♦ | Bestimmen der oberen und unteren Schranke einer rationalen Folge |
| 27. | Konvergente Folgen | 3 - analytisch | schwer | 4♦ | Die Konvergenz der Folgen beweisen |
| 28. | Monotonie und Beschränktheit | 3 - analytisch | schwer | 3♦ | Um zu beweisen, dass die Folge einen Grenzwert hat, wird der Satz über den Grenzwert der monoton beschränkten Folge angewendet. |
Zusätzliche Beispiele (nur für Lehrende sichtbar)
| Nummer | Name | Art | Schwierigkeitsgrad | Punkte | Beschreibung |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Umgebung von а | Andere | leicht | 1♦ | Man bestimmt, ob ein Punkt in der Umgebung von a mit dem Radius r liegt. |
| 2. | Grenzwert des Quotienten | Andere | mittel | 2♦ | Grenzwert der Folge (Bruch, quadratische in n) |
| 3. | Exponentialfunktion und Folgendefinition | Andere | mittel | 2♦ | Berechnen einer Näherung von e^x durch Anwenden der Darstellung durch Folgen |
| 4. | Konvergenz der geometrischen Folge | Andere | mittel | 2♦ | Geometrische Folge: Bestimmen, ab welchem Index die Folgenglieder näher als ein epsilon bei null liegen (TR erforderlich) |
| 5. | Grenzwert einer monotonen und beschränkten Folge | Andere | schwer | 3♦ | Bestimmung des Grenzwertes einer monotonen und beschränkten Folge |
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