22. Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren kann dazu verwendet werden, um Näherungsfolgen von Quadratwurzeln zu berechnen. Man kann damit eine rekursiv definierte Folge herleiten, die gegen die Wurzel einer gewünschten Zahl konvergiert.

 

 

Man kann also eine Folge \(\langle a_n\rangle\) herleiten, die gegen \(\sqrt 4\) konvergiert. In diesem Fall sind die Folgenglieder durch folgende Rekursion gegeben:

 

\(\displaystyle a_{n+1}= \frac{a_n}{2}+\frac {x}{a_n}\).

 

\(x\) ist eine reelle Zahl. Bestimme sie!

 

Antwort: $x=i$.

 

In der Tat konvergiert diese Folge im Allgemeinen tatsächlich. Berechne für dieses \(x\) nun eine Näherung von \(\sqrt 4\), indem du die ersten 5 Folgenglieder für den Startwert \(a_0=5\) ausrechnest. Das Folgenglied \(a_{5}\) ist dann die gesuchte Näherung.

 

Antwort (runde auf 3 Nachkommastellen): \(a_{5}=\).