Theorie:
Wir haben im vorigen Kapitel die Eulersche Zahl \(e\) motiviert:
Die Eulersche Zahl \(e\) ist gleich dem Grenzwert
\(\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac 1n\Big)^n = 2,7182818\ldots\).
\(e\) ist neben \(\pi\) eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik.
Die Zahl \(e\) ist irrational.
Die Exponentialfunktion mit Basis \(e\) wird in der Mathematik oft als die Exponentialfunktion bezeichnet. Sie kommt sehr häufig vor, und spielt eine herausragende Rolle. Außerdem kann man ja alle anderen Exponentialfunktionen durch die Exponentialfunktion zur Basis \(e\) ausdrücken:
\(a^x=e^{x\cdot \log_e a}\).
Der Logarithmus zur Basis \(e\) wird üblicherweise nicht mit "\(\log_e\)" bezeichnet, sondern mit "\(\ln\)". Die Abkürzung kommt von "logarithmus naturalis" - der Logarithmus zur Basis \(e\) wird meistens als der natürliche Logarithmus bezeichnet.
Beachte, dass \(\ln e=1\) gilt. Im letzten Kapitel haben wir die Exponentialfunktion \(e^x\) über die Zinseszinsrechnung hergeleitet, und als den Grenzwert einer Folge definiert:
Für jede reelle Zahl \(x\in\mathbb R\) ist \(e^x\) gleich dem Grenzwert
\(\displaystyle e^x=\lim_{n\to \infty}\Big(1+\frac{x}{n}\Big)^n\).
Eine andere, praktischere und weit verbreitete Möglichkeit, die Exponentialfunktion darzustellen, ist über eine unendliche Reihe:
Für jedes \(x\in\mathbb R\) gilt:
\(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots\).
Dabei ist \(n!\) die Faktorielle (oder Fakultät) von \(n\). Zum Beispiel ist \(5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\).
Wichtig!
Die meisten Taschenrechner besitzen eine \(\ln\)-Taste und eine \(e^x\)-Taste.