Gleichungslösen durch Variablensubstitution — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Die Methode der Einführung einer neuen Variablen (Substitution):

In der Gleichung wird ein Teil der Gleichung durch eine andere Variable (\(a, y, t, ...\)) ersetzt.
(die alte Unbekannte sollte nicht gleichzeitig mit der neuen in der Gleichung stehen.);
Die neue Gleichung wird gelöst;
Durch Rückeinsetzen wird die Lösung der ursprünglichen Variable ermittelt.

Beispiel:

Löse die Gleichung

{(2x - 21)}^{2} - 5 (2 x - 21) + 4 = 0

.

Natürlich könnten wir diese Gleichung auch ohne Substitution lösen (die Klammern werden aufgelöst, usw.), allerdings ist es hier einfacher eine neue Variable einzuführen.
Wir nutzen dazu die Tatsache, dass beide Klammern gleich sind.

Bezeichnen wir \(2x-21 = y\). Wir erhalten eine einfache quadratische Gleichung und lösen z.B. mit dem Satz von Vieta oder der kleinen Lösungsformel:

\begin{array}{l} y^{2} - 5 y + 4 = 0 \\ y_{1} = 4 y_{2} = 1 \end{array}

Wir setzen nun die erhaltenen Werte in unsere Definition von \(y\) ein:

1) \(2x - 21 = 4\)
\(2x = 25\)

\(x = 12,5\)

2) \(2x - 21 = 1\)

\(2x = 22\)

\(x = 11\)

Die Antwort: \(x = 12,5; x = 11\)

Durch Substitution lassen sich auch sogenannte biquadratische Gleichungen gut lösen:

\begin{array}{l} a x^{4} + b x^{2} + c = 0, wo a, b, c \in R \\ x^{2} = y \\ a y^{2} + by + c = 0 \end{array}

Beispiel:

Löse die Gleichung:

\begin{array}{l} x^{4} - 13 x^{2} + 12 = 0 \\ x^{2} = y, dann y^{2} - 13 y + 12 = 0 \\ y_{1} = 12 y_{2} = 1 \\ 1) x^{2} = 12 x = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3} \\ 2) x^{2} = 1 x = \pm 1 \\ Die Antwort : \{- 2 \sqrt{3}; - 1; 2 \sqrt{3}; 1\} \end{array}

Beispiel:

\begin{array}{l} \frac{4}{x^{2} + 10} + \frac{5}{x^{2} + 11} = 2 Wir versuchen g ü nstig zu bezeichnen \\ \frac{4}{x^{2} + 10} + \frac{5}{x^{2} + 10 + 1} = 2 x^{2} + 10 = y \\ \frac{4}{y} + \frac{5}{y + 1} = 2 \end{array}

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