Theorie:
Überprüfung der Lösungen und Verlust von Lösungen
Formt man Gleichungen um, ohne sich an die im vorigen Kapitel besprochenen Umformungsregeln (Theoreme) zu halten, kann es passieren, das die Ergebnisse der Umformung nicht (oder nur teilweise) Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind.
Beispiel:
Quadrieren wir die beiden Seiten der Gleichung .
Wir erhalten eine Gleichung mit zwei Lösungen:
Das kommt daher, dass das Quadrieren beider Seiten nur dann eine Äquivalenzumformung ist, wenn beide Seiten positiv sind, was auf \(x-1\) nicht allgemein zutrifft.
Solche Probleme können auftreten wenn:
1) durch Variablen gekürzt wird;
2) zu einem geraden Grad potenziert wird;
3) beide Seiten der Gleichung als Exponenten zurselben Basis erhöht werden
4) der Definitionsbereich der Gleichung verändert wird
4) der Definitionsbereich der Gleichung verändert wird
Wichtig!
Bei der Modifikation einer Ausgangsgleichung in die Ergebnisgleichung ist eine Überprüfung aller gefundenen Lösungen notwendig.
Beim nicht-äquivalenten-Umformen von Gleichungen können sowohl neue Lösungen entstehen (die nicht Lösung der Ursprungsgleichung sind), als auch Lösungen verloren gehen.
Der Verlust einer Lösung kann entstehen, wenn:
1)beide Teile der Gleichung durch einen und derselben Ausdruck \(h(x)\) dividiert werden (da der damit die Zusatzbedingung gesetzt wird);
2) eine Verschmälerung des Bereichs der erlaubten Werte im Laufe der Lösung der Gleichung entsteht.
Beispiel:
Löse die Gleichung
Lösen wir die Gleichung auf zwei Weisen:
Beim Vergleich dieser beiden Methoden, merken wir, dass bei der Lösung mit Hilfe der zweiten Methode eine Lösung verlorengegangen ist, nämlich \(x=-100\).
Die Ursache ist hier, dass die Umformung von \(x^2\) zu \(x\) nicht korrekt durchgeführt wurde. Richtig hätten wir schreiben müssen:
oder
\(lg x^2 = 2 lg(\pm x)\)
Aus dem Definitionsbereich ist eine offene Halbgerade weggefallen, wo sich gerade die bei der zweiten Methode der Lösung verlorene Lösung der Gleichung befindet.
Deshalb ist es bei der Anwendung irgendeiner Formel bei der Lösung der Gleichung notwendig, dass im rechten und im linken Teil der Formel der Bereich der erlaubten Werte einer Variablen gleich sein sollte.
Quellen:
Mordkovitsch A.G. Algebra und der Analysenanfang. 10-11 Kl.
2-te Ausgabe. Teil 1. Buch für Allgemeinbildungseinrichtungen (Basislevel). - M.: Mnemozina, 2009.