Theorie:
Für die grafische Lösung der Gleichung ist es notwendig die Funktionsgraphen \(y=f(x)\) und \(y=g(x)\) zu zeichnen, und danach deren Schnittpunkte zu finden.
Die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen dieser Punkte.
Diese Methode erlaubt die (möglicherweise ungenauen) Werte, jedenfalls aber die Anzahl der Lösungen zu ermitteln.
In einigen Fällen kann man die Zeichnung der Funktionsgraphen durch den Verweis auf entsprechende Funktionseigenschaften ersetzen.
Wenn zum Beispiel eine der Funktionen \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) ansteigt und die andere abnimmt, dann hat die Gleichung entweder keine Lösung oder genau eine (welche man manchmal erraten kann).
Oder:
wenn im Abschnitt \(X\) der größte Wert einer der Funktionen \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) gleich \(А\) und der kleinste Wert einer anderen Funktion auch gleich \(А\) ist, dann ist die Gleichung auf dem Abschnitt \(X\) dem Gleichungssystem
äquivalent.
äquivalent.
Beispiel:
Lösen wir die Gleichung
Zeichnen wir die Funktionsgraphen und in einer Koordinatenebene.
Diese Graphen schneiden einander in den Punkten \(A(1;1)\) und \(B(4;2)\). Das bedeutet, die Gleichung hat zwei Lösungen:
.
.
Beispiel:
Lösen wir die Gleichung
Modifizieren wir die Gleichung zur Form . Bei dieser Gleichung kommen wir aus, ohne den Graphen zu zeichnen, da die Funktion ansteigt und die Funktion \(y=42-5x\) abnimmt. Das bedeutet, die Gleichung hat nur eine Lösung. Durch Ausprobieren einiger Werte stellen wir fest, dass diese \(x=2\) ist. Bei der Überprüfung erhalten wir tatsächlich eine richtige Zahlengleichheit.
Die Antwort: \(2\).
Quellen:
Mordkovitsch A.G. Algebra und der Analysenanfang. 10-11 Kl.
2-te Ausgabe. Teil 1. Buch für Allgemeinbildungseinrichtungen (Basislevel). - M.: Mnemozina, 2009.