Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Man konstruiert im Koordinatensystem einen Halbkreis mit dem Radius \(1\) (den Einheitshalbkreis) und mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines spitzen Winkels das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse und der Kosinus eines spitzen Winkels ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

Im Dreieck \(AOX\) gilt also:

\sin α = \frac{AX}{AO}; \cos α = \frac{OX}{AO}

Der Radius des Halbkreises ist \(R = AO = 1\), also erhalten wir, dass

\sin α = AX; \cos α = OX

.

Die Länge der Strecke \(AX\) entspricht der \(y\)-Koordinate des Punktes \(A\) und die Länge der Strecke \(OX\) entspricht der \(x\)-Koordinate des Punktes \(A\), also hat dieser Punkt die Koordinaten

A (\cos α; \sin α)

.

Also gilt für Winkel

0 ° \leq α \leq 180 °

, dass

- 1 \leq \cos α \leq 1; 0 \leq \sin α \leq 1

.

Im rechtwinkligen Dreieck wird der Tangens eines spitzen Winkels als das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete definiert, d.h.

\tan α = \frac{AX}{OX} = \frac{\sin α}{\cos α}

Wir wollen nun den Sinus, den Kosinus und den Tangens für die speziellen Winkel

0 °; 90 °; 180 °

bestimmen.

\begin{array}{l} \sin 0 ° = 0; \cos 0 ° = 1; \tan 0 ° = 0 \\ \sin 90 ° = 1; \cos 90 ° = 0; \tan 90 ° ist nicht definiert \\ \sin 180 ° = 0; \cos 180 ° = - 1; \tan 180 ° = 0 \end{array}

Wollen wir nun die beiden spitzen Winkel im Dreieck \(AOX\) analysieren: Ergänzen sie sich zu

90 °

, können die beiden durch den Winkel

α

ausgedrückt werden.

Wenn also

\sin α = \frac{AX}{AO}; \cos α = \frac{OX}{AO}

, dann ist

\sin (90 ° - α) = \frac{OX}{AO}; \cos (90 ° - α) = \frac{AX}{AO}

.

Man sieht, dass die folgenden Gleichungen gelten:

\begin{array}{l} \cos (90 ° - α) = \sin α \\ \sin (90 ° - α) = \cos α \end{array}

Betrachten wir nun einen stumpfen Winkel, den wir durch

α

ausdrücken:

Die folgenden Gleichungen sind erfüllt:

\begin{array}{l} \sin (180 ° - α) = \sin α \\ \cos (180 ° - α) = - \cos α \end{array}

Wendet man im Dreieck \(AOX\) den Satz des Pythagoras an, bekommt man

{AX}^{2} + {OX}^{2} = 1

. Man ersetzt die Strecken mit dem Sinus und dem Kosinus und erhält:

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

Diese Identität erlaubt uns den Sinus eines Winkels zu berechnen, wenn der Kosinus bekannt ist und umgekehrt.

Für spitze Winkel ist der Kosinus positiv, für stumpfe Winkel nimmt er negative Werte an.

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