Theorie:
Im rechtwinkligen Dreieck wendet man trigonometrische Funktionen an, um die Seitenlängen und die spitzen Winkel des Dreiecks zu bestimmen.
Sie können durch die an den Winkel anliegende Kathete (Ankathete), die gegenüberliegende Kathete (Gegenkathete) und die Hypotenuse ausgedrückt werden.
Welche Funktion wird wann verwendet?
Sind nur die Längen der Katheten gegeben, benötigt man tan.
Ist die Länge der Hypotenuse gegeben oder soll sie berechnet werden, verwendet man sin oder cos.
Ist die Länge der Gegenkathete gegeben oder soll sie berechnet werden, wird sin verwendet.
Ist die Länge der Ankathete gegeben oder gesucht, benötigt man cos.
Wichtige Werte der trigonometrischen Funktionen
| \(30\) | \(45\) | \(60\) | |
| \(sin \)\(\) | |||
| \(cos \) | |||
| \(tan \)\(\) | \(1 \) |
Die Größen für andere Winkel kann man mithilfe eines Taschenrechners berechnen.
Beispiel:
Gegeben: \(AB =\)\(6\)\(cm\),
Berechne \(AC\), also die Länge der Hypotenuse. Der Winkel und die Ankathete sind gegeben, deshalb verwendet man \(cos\) :
Anwendung spezieller Winkelgrößen:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete, die dem Winkel von \(30\) gegenüber liegt,halb so lang wie die Hypotenuse dieses Dreiecks.
Die Kathete, die dem Winkel von \(60\) gegenüber liegt, ist das Produkt der Länge der kürzeren Kathete mit .
Der Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt \(60\), und die Winkelhalbierende halbiert diesen Winkel.
Im regelmäßigen Sechseck bilden die längere und die kürzere Diagonale und die Seite ein rechtwinkliges Dreieck. Einer der Winkel dieses Dreiecks beträgt \(30\).