Theorie:
Wiederholen wir kurz, wie wir üblicherweise Dezimalzahlen addieren. Angenommen, wir wollen zu \(863\) die Zahl \(5\) addieren:
\(\phantom{+}863\)
\(+\phantom{86}5\) \(\phantom{+}868\)
Die Addition betrifft nur die Einerstelle, die Zehnerstelle und die Hunderterstelle werden davon nicht verändert. Was aber, wenn die Summe der beiden Einerstellen \(10\) oder mehr ergibt? Zählen wir nun statt \(5\) die Zahl \(9\) zu \(863\):
\(\phantom{+}863\)
\(+\phantom{86}9\) \(\phantom{+}872\)
\(9+3=12\), d.h. es reicht keine der Ziffern von \(0\) bis \(9\) aus, um das Resultat bloß in der Einerstelle darzustellen - der "dazugewonnene" Zehner wirkt sich auf die Zehnerstelle des Resultats aus, sie wächst auch um eins (d.h. der Übertrag \(1\) wurde der Zehnerstelle zugeschlagen), die Einerstelle ist hingegen "nur" \(2\). Zur Verdeutlichung können wir uns die Rechnung auch in der "ausführlichen" Dezimaldarstellung anschauen:
\( 863+9= (8\cdot 100+6\cdot 10+3\cdot 1) + 9\cdot 1\)
\( \phantom{863+9}= 8\cdot 100+6\cdot 10+({3}+\underline{9})\cdot 1\)
\( \phantom{863+9}= 8\cdot 100+6\cdot 10+(\underline{10}+\underline{2})\cdot 1\)
\( \phantom{863+9}= 8\cdot 100+(6+\underline 1)\cdot 10+\underline 2\cdot 1 = 872\).
Hier sind die Ziffern unterstrichen, die von der Addition beeinflusst worden sind. Man kann gut sehen, wie der dazugekommene Zehner sich auf die Ziffer an der Zehnerstelle auswirkt.
Die Addition von Zahlen, die bezüglich anderer Basen gegeben sind, geht ähnlich, nur dass der Übertrag nicht entsteht, wenn die Summe der beiden Ziffern in einer bestimmten Spalte größer gleich \(10\) wird, sondern größer gleich der Basis! Demonstrieren wir das an Hand eines Beispiels: Zu addieren sind \((231)_4\) und \((112)_4\) (wir lassen zur Übersichtlichkeit die Klammern und den tiefgestellten Vierer weg):
\(\phantom{+x}\,231\)
\(+\phantom{x}122\)
\(\phantom{+}{}^{\small{1}}\,{}^{\small 1}\quad\)
\(\phantom{+}1013\)
Die kleinen Einsen knapp über dem Strich sind die jeweiligen Überträge, die während der Rechnung angefallen sind. Im Folgenden erklären wir Schritt für Schritt, wie obige Rechnung abgelaufen ist:
- Wir addieren die Ziffern auf den Einerstellen: \(1+2=3\). Das ist kleiner als die Basis \(4\), also ist das schon die Einer-Ziffer der Summe, und es fällt kein Übertrag an.
- Nun addieren wir die Ziffern auf den zweiten Stellen: \(3+2="5"\). Der \(5\)er steht in Anführungszeichen, denn die Ziffer \(5\) kommt bezüglich der Basis \(4\) gar nicht vor. Der Wert \(5\) hat bezüglich der Basis \(4\) die Darstellung \(11\). Wir notieren also als nächste berechnete Ziffer die \(1\), und der Einser der nächsten Stelle kommt als Übertrag unter die dritte Stelle.
- Addieren wir nun die Ziffern in der dritten Spalte (von rechts). Dabei dürfen wir auf den Übertrag von dem vorigen Rechenschritt nicht vergessen: \(2+1+1="4"\). Für \(4\) gibt es auch keine Ziffer, bezüglich der Basis \(4\) ist die Dezimalzahl \(4\) gleich \(10\) (also \((10)_4\)). Wir notieren also die Ziffer \(0\), und schreiben den Übertrag \(1\) nach vorne. Da es hier keine Ziffern mehr zu addieren gibt (man könnte sich Nullen denken), ist der Übertrag \(1\) auch gleich der führenden Ziffer des Resultats.