Theorie:
Wie entscheiden wir bei Dezimalzahlen, welche der beiden größer ist? Wir können einerseits die Differenz der beiden betrachten, das Vorzeichen entscheidet, welche der beiden die größere ist. Eine andere Möglichkeit ist, sie ziffernweise zu vergleichen - das ist das, was wir oft intuitiv durch "Hinschauen" machen. Sehen wir uns das an Hand eines Beispiels genauer an.
Wir vergleichen \(x=5361\) und \(y=5318\). Wir bemerken, dass die ersten beiden Stellen, \(5\) und \(3\), bei beiden Zahlen gleich sind - es kommt beim Vergleich also auf die hinteren zwei Stellen an: Die Zehnerstelle ist bei \(x\) gleich \(6\), und bei \(y\) nur \(1\). Das ist auch der relevante Unterschied, wie sich die Einerstellen zueinander verhalten, ist irrelevant, sie können den Unterschied in den Zehnerstellen nie ausgleichen. Das liegt daran, dass sogar der größtmögliche Unterschied in der Einerstelle, nämlich \(9\), nie auch nur so viel wert ist wie ein Unterschied in der Zehnerstelle von \(1\).
Zusammenfassend gilt: Vergleicht man zwei Dezimalzahlen, so vergleicht man jeweils die Ziffern an gleicher Stelle, beginnend mit der größten Stelle. Haben die beiden Zahlen unterschiedlich viele Stellen, so ergänzt man die kürzere mit extra Nullen. Die erste Stelle, an der sich die Ziffern der beiden Zahlen unterscheiden, entscheidet darüber, welche der beiden Zahlen größer, und welche kleiner ist: Diejenige, die an dieser Stelle die kleinere Ziffer hat, ist auch die kleinere der beiden Zahlen.
Genau das Gleiche können wir bezüglich anderer Basen machen:
Vergleich von zwei natürlichen Zahlen \(x\) und \(y\), bezüglich einer Basis \(b\) gegeben.
- Haben \(x\) und \(y\) gleich viele Stellen? Wenn nein, so ist die mit den weniger Stellen die kleinere von beiden. Wenn ja, gehe zu Schritt 2.
- Beginnend mit der führenden Stelle, vergleiche jeweils die entsprechende Ziffern miteinander, bis man die erste Stelle findet, an der die Ziffern nicht gleich sind. (Sind alle Ziffern gleich, so sind die Zahlen auch gleich).
- Die Zahl, die an dieser Stelle die kleinere Ziffer hat, ist die kleinere von den beiden Zahlen.
Wichtig!
Man vergleicht natürlich die Werte der Ziffern. In der Hexadezimaldarstellung ist beispielsweise \(B>A>9>8\).
Sind umgekehrt die Ziffern zweier natürlicher Zahlen gleich, aber die Basen unterschiedlich, so ist die Zahl mit der größeren Basis auch die größere Zahl.