Theorie:
Die spannendere, aber auch schwierigere Frage ist: Wie kann ich eine gegebene Dezimalzahl in die \(b\)-adische Darstellung umwandeln?
Wir illustrieren auch das an Hand eines Beispiels. Sei \(x=581,\!25\) eine gegebene Dezimalzahl. Wir wollen sie nun bezüglich der Basis \(b=8\) ausdrücken. Im ersten Schritt kümmern wir uns um die Stellen vor dem Komma. Dazu schreiben wir die ersten paar Potenzen von \(8\) hin:
\(8^0=1,\quad 8^1=8,\quad 8^2=64,\quad 8^3=512,\quad 8^4=4096\).
\(8^4\) ist selber viel größer als \(x\), diese Potenz wird also nicht mehr vorkommen. Die Darstellung von \(x\) zur Basis \(8\) wird also vor dem Komma \(4\) Stellen, aber nicht \(5\) haben.
- Wie oft kommt \(8^3\) in \(x\) vor? Wir dividieren \(581\) durch \(512\), und ignorieren den Rest. Die Antwort ist \(1\) (\(512\) hat einmal, aber nicht zweimal in \(581\) Platz). Das ist die Ziffer an vierter Stelle:
\(x=1\cdot 8^3+???\).
- Den Rest müssen wir nun mit den nächstkleineren Potenzen beschreiben. Wir ziehen also \(1\cdot 512\) von \(x\) ab, das Resultat ist \(69,\!25\) (das ist der Rest). Wie oft kommt \(8^2=64\) darin vor? Auch wieder nur einmal, die nächste Ziffer ist also wieder \(1\), und wir sind wieder einen Schritt weiter:
\(x=1\cdot 8^3+1\cdot 8^2+???\).
- Wir ziehen nun von \(69,\!25\) die Zahl \(1\cdot 8^2\) ab, übrig bleibt \(5,\!25\). \(8^1\) geht sich darin gar nicht (null mal) aus, die nächste Ziffer ist \(0\). Die nächste ist leicht, wegen \(8^0\) haben wir \(5=5\cdot 8^0\). Wir haben also die Ziffern vor dem Komma alle bestimmt, es hat \(x\) die Darstellung vor dem Komma \(x=(1105,\!??\ldots)_8\). Nun gehen wir zu den Nachkommastellen.
- Die Nachkommastellen bestimmt man ganz analog. Schreiben wir uns die ersten paar Potenzen von \(8\) mit negativen Exponenten hin:
\(8^{-1}=0,\!125,\quad 8^{-2}=0,\!015625, \quad 8^{-3}=0,\!001953125\).
- In Dezimaldarstellung sind die Nachkommastellen gleich \(0,\!25\). Darin geht sich \(2\cdot 8^{-1}=0,\!25\) aus, aber nicht \(3\cdot 8^{-1}=0,\!375\). In der Basis \(8\) lautet die erste Nachkommastelle also \(2\), und
\(x=(1105,\!2)_8\).
- Danach bleibt nichts mehr übrig, wir brauchen also keine weiteren Nachkommastellen zu berechnen.
Wir fassen das als allgemeines Rechenschema zusammen:
Gegeben ist die reelle Zahl \(x\), und wir wollen ihre Darstellung bezüglich einer Basis \(b\) bestimmen. Falls \(x<0\), so berechnen wir zuerst die Darstellung von \(-x>0\) und geben das Minus erst am Schluss wieder dazu.
- Finde jene ganze Zahl \(K\in\mathbb N\) mit der Eigenschaft
\(b^K\le x<b^{K+1}\).
Dieses \(K\) gibt an, wieviele Stellen vor dem Komma die erste Ziffer ungleich null vorkommt. - Bestimme die Ziffer \(a_{K}\) als die Zahl, wie oft \(b^K\) in \(x\) vorkommt: Gesucht ist \(a_K\in\{0,1,2,\ldots, b-1\}\) mit
\(a_K\cdot b^K\le x<(a_K+1)\cdot b^K\).
Ersetze ggf. \(a_K\) durch das entsprechende Ziffernsymbol. Das ist nun die vorderste Ziffer von \(x\), wir schreiben sie auf. - Ersetze \(x\) durch \(x-a_K\cdot b^K\), das ist nun unser neues \(x\).
- Ersetze \(K\) durch \(K-1\), das ist unser neues \(K\).
- Wiederhole die Schritte 2. bis 4. solange, bis das in Schritt 3. berechnete "neue" \(x\) gleich null ist. Jedes Mal, wenn wir Schritt 2. ein weiteres Mal durchführen, bekommen wir eine weitere Ziffer, die wir rechts an die bisher erhaltenen dranschreiben. Im Moment, wo unser "neues" \(x\) kleiner als \(1\) ist, schreiben wir ein Komma, alle weiteren Ziffern stehen dann hinter dem Komma.
Wichtig!
Unterscheide genau zwischen "kleiner" und "kleiner gleich" in obigem Algorithmus.
Wichtig!
Manchmal bricht der obige Algorithmus nie ab, weil das Ergebnis eine unendliche Darstellung hat.