Theorie:
Hat man eine Gleichung, zum Beispiel in den Variablen x,y, und formt sie um, so möchten wir, dass nach der Umformung der Wahrheitsgehalt der Gleichung der selbe wie vor der Umformung ist - der Zusammenhang von x und y, der durch die Gleichung beschrieben wird, soll sich nicht ändern!
Beispiel:
Die Gleichung 3x=6 ist kurz für "Die Variable x erfüllt die Gleichung 3x=6." Wenn wir die Gleichung umformen, so soll sich am Wahrheitsgehalt nichts ändern. Multiplizieren wir die Gleichung mit 2, so erhalten wir 6x=12. Offensichtlich ist die Aussage "x erfüllt 6x=12" wahr, wenn die Aussage "x erfüllt 3x=6" wahr ist. Das ist also eine Umformung in unserem Sinne.
Der im obigen Beispiel beschriebene Sachverhalt ist eine Folgerung.
Sei G_1 eine Gleichung (z.B. mit den Variablen x, y, \ldots), und erhalten wir durch Umformung daraus eine Gleichung G_2, dann sagt man "G_2 folgt aus/ist eine Folgerung von G_1" oder "G_1 impliziert G_2", wenn gilt: Immer dann wenn G_1 richtig ist, ist auch G_2 richtig.
Beispiel:
Betrachten wir die Gleichung 2x+1=3y (das wäre Gleichung G_1 in obiger Definition). Multipliziert man G_1 mit 5, so erhalten wir die Gleichung 10x+5=15y (diese Gleichung nennen wir G_2). Nun folgt G_2 aus G_1: Beispielsweise wählen wir x=4 und y=3 - diese Werte erfüllen G_1. Doch mit diesen Werten ist auch G_2 wahr: 10\cdot 4+5=15\cdot 3. Das kann man mit allen Wertpaaren x,y machen, die G_1 erfüllen - sie erfüllen immer auch G_2! Und tatsächlich folgt G_2 aus G_1. Das ist jetzt kein Beweis, doch illustriert er das Konzept der Folgerung.
Wichtig!
Eine Folgerung wird durch einen Doppelpfeil "\Rightarrow" beschrieben.
So schreibt man für "G_1 impliziert G_2" einfach "G_1\Rightarrow G_2". So banal ist das Konzept der Umformung nicht, wie es auf den ersten Blick klingen mag.
Beispiel:
Betrachten wir die sehr einfache Gleichung x=3. Quadriert man die Gleichung, so erhält man dadurch
x=3\quad \Rightarrow \quad x^2=9.
Die erste Gleichung ist wahr genau für x=3. Die rechte Gleichung gilt auch für x=3 (ist also eine korrekte Folgerung). Jedoch gilt diese Gleichung auch für x=-3, denn (-3)^2 = 9. Die umgekehrte Folgerung geht daher nicht: Aus x^2=9 folgt nicht die Gleichung x=3. Denn es gibt x-Werte, für die die erste Gleichung wahr ist und die zweite aber nicht (also x=-3)!
Eine korrekte Folgerung wäre jedoch x^2=9\,\Rightarrow \, |x|=3. Hier ist die erste Gleichung sogar genau für jene x wahr, für die auch die zweite Gleichung wahr ist.
Falls für zwei Gleichungen G_1 und G_2 folgendes gilt: G_1 impliziert G_2 und G_2 impliziert G_1, dann nennt man G_1 und G_2 äquivalent, und schreibt G_1\Leftrightarrow G_2.
Beispiel:
Die Gleichungen x^2=9 und |x|=3 sind äquivalent, sie beschreiben beide exakt die Aussage "x=3 oder x=-3".