Theorie:
Hat man eine Gleichung, zum Beispiel in den Variablen \(x,y\), und formt sie um, so möchten wir, dass nach der Umformung der Wahrheitsgehalt der Gleichung der selbe wie vor der Umformung ist - der Zusammenhang von \(x\) und \(y\), der durch die Gleichung beschrieben wird, soll sich nicht ändern!
Beispiel:
Die Gleichung \(3x=6\) ist kurz für "Die Variable \(x\) erfüllt die Gleichung \(3x=6\)." Wenn wir die Gleichung umformen, so soll sich am Wahrheitsgehalt nichts ändern. Multiplizieren wir die Gleichung mit \(2\), so erhalten wir \(6x=12\). Offensichtlich ist die Aussage "\(x\) erfüllt \(6x=12\)" wahr, wenn die Aussage "\(x\) erfüllt \(3x=6\)" wahr ist. Das ist also eine Umformung in unserem Sinne.
Der im obigen Beispiel beschriebene Sachverhalt ist eine Folgerung.
Sei \(G_1\) eine Gleichung (z.B. mit den Variablen \(x, y, \ldots\)), und erhalten wir durch Umformung daraus eine Gleichung \(G_2\), dann sagt man "\(G_2\) folgt aus/ist eine Folgerung von \(G_1\)" oder "\(G_1\) impliziert \(G_2\)", wenn gilt: Immer dann wenn \(G_1\) richtig ist, ist auch \(G_2\) richtig.
Beispiel:
Betrachten wir die Gleichung \(2x+1=3y\) (das wäre Gleichung \(G_1\) in obiger Definition). Multipliziert man \(G_1\) mit \(5\), so erhalten wir die Gleichung \(10x+5=15y\) (diese Gleichung nennen wir \(G_2\)). Nun folgt \(G_2\) aus \(G_1\): Beispielsweise wählen wir \(x=4\) und \(y=3\) - diese Werte erfüllen \(G_1\). Doch mit diesen Werten ist auch \(G_2\) wahr: \(10\cdot 4+5=15\cdot 3\). Das kann man mit allen Wertpaaren \(x,y\) machen, die \(G_1\) erfüllen - sie erfüllen immer auch \(G_2\)! Und tatsächlich folgt \(G_2\) aus \(G_1\). Das ist jetzt kein Beweis, doch illustriert er das Konzept der Folgerung.
Wichtig!
Eine Folgerung wird durch einen Doppelpfeil "\(\Rightarrow\)" beschrieben.
So schreibt man für "\(G_1\) impliziert \(G_2\)" einfach "\(G_1\Rightarrow G_2\)". So banal ist das Konzept der Umformung nicht, wie es auf den ersten Blick klingen mag.
Beispiel:
Betrachten wir die sehr einfache Gleichung \(x=3\). Quadriert man die Gleichung, so erhält man dadurch
\(x=3\quad \Rightarrow \quad x^2=9\).
Die erste Gleichung ist wahr genau für \(x=3\). Die rechte Gleichung gilt auch für \(x=3\) (ist also eine korrekte Folgerung). Jedoch gilt diese Gleichung auch für \(x=-3\), denn \((-3)^2 = 9\). Die umgekehrte Folgerung geht daher nicht: Aus \(x^2=9\) folgt nicht die Gleichung \(x=3\). Denn es gibt \(x\)-Werte, für die die erste Gleichung wahr ist und die zweite aber nicht (also \(x=-3\))!
Eine korrekte Folgerung wäre jedoch \(x^2=9\,\Rightarrow \, |x|=3\). Hier ist die erste Gleichung sogar genau für jene \(x\) wahr, für die auch die zweite Gleichung wahr ist.
Falls für zwei Gleichungen \(G_1\) und \(G_2\) folgendes gilt: \(G_1\) impliziert \(G_2\) und \(G_2\) impliziert \(G_1\), dann nennt man \(G_1\) und \(G_2\) äquivalent, und schreibt \(G_1\Leftrightarrow G_2\).
Beispiel:
Die Gleichungen \(x^2=9\) und \(|x|=3\) sind äquivalent, sie beschreiben beide exakt die Aussage "\(x=3\) oder \(x=-3\)".