Theorie:
Wir kennen bereits einige Möglichkeiten, Gleichungen umzuformen. Dabei haben wir uns bisher noch kaum Gedanken über die Richtung der Folgerung gemacht. So gibt es Umformungen, die z.B. die Gültigkeit einer Gleichung verändern können. Zum Beispiel hat \(3x=6\) die eindeutige Lösung \(x=2\). Multiplizieren wir die Gleichung jedoch mit \(0\), so haben wir sie auf \(0\cdot x=0\) umgeformt. Diese Gleichung hat jedes \(x\in \mathbb R\) als Lösung. Durch diese Umformung hat sich die Lösungsmenge der Gleichung dramatisch verändert!
In der Mathematik will man bei Umformungen daher im Blick behalten, was die einzelnen Umformungsschritte bewirken. Üblicherweise will man unerwünschte Änderungen wie die oben beschriebene vermeiden! Wiederholen und verstehen wir zunächst noch einmal, was eine Gleichung bedeutet:
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen (z.B. \(T_1\) und \(T_2\)) die durch ein Gleichheitssymbol ("\(=\)") verbunden sind. Die Aussage der Gleichung ist, dass \(T_1\) und \(T_2\) gleich sind, und man schreibt \(T_1=T_2\).
Beispiel:
Greifen wir obiges Beispiel auf, dann wäre der erste Term "\(3x\)" und der andere Term "\(6\)". Indem wir sie gleichsetzen, erhalten wir die Gleichung \(3x=6\). Dies setzt die beiden Terme in Verbindung, und wir sagen, dass "\(3x\) gleich \(6\)" ist. Durch diese Gleichheit erhalten wir nun eine Aussage zu \(x\): Die Gleichung gilt nur für bestimmte \(x\), in diesem Fall nur für \(x=2\).
Beispiel:
Eine Gleichung kann auch aus mehreren Variablen bestehen. Bildet man eine Gleichung aus den Termen "\(3x+1\)" und "\(2y\)", so lautet diese \(3x+1=2y\). Diese stellt einen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen \(x\) und \(y\) her. Im Gegensatz zu vorigem Beispiel kann man hier nicht ein konkretes \(x\) und ein konkretes \(y\) als "Lösung" angeben, sondern erhält meist unendlich viele Lösungspaare \((x,y)\).
Gleichungen entstehen in der Praxis oft aus der Beobachtung von Zusammenhängen, siehe dazu das vorige Kapitel "Aufstellen und Interpretieren von Formeln". Aus diesem Blickwinkel kann man eine Gleichung als eine Forderung an eine oder mehrere Variablen verstanden werden. Insofern besteht eine Gleichung nicht nur aus der 'nackten' Gleichung, sondern sie muss im Kontext verstanden werden: Eine Gleichung ist wahr oder falsch.
Eine Gleichung \(T_1=T_2\) in den Variablen \(x,y,\ldots\) ist eine Kurzform für folgende Aussage:
Die Variablen \(x,y,\ldots\) erfüllen die Gleichung \(T_1=T_2\).
Verwendet man eine Gleichung, so wird meist stillschweigend angenommen, sie sei wahr (im Sinne obiger Definition).