Theorie:
Für je zwei Gleichungen mag es schwierig sein, direkt zu überprüfen, ob sie äquivalent sind. Glücklicherweise gibt es dazu aber Regeln. Umformungen, die eine Gleichung in eine äquivalente transformieren, nennt man Äquivalenzumformungen.
Folgende Rechenoperationen auf Gleichungen sind Äquivalenzumformungen:
- Addition mit einer reellen Zahl.
- Subtraktion einer reellen Zahl.
- Multiplikation mit einer reellen Zahl \(c\neq 0\).
- Division durch eine reelle Zahl \(c\neq 0\).
Wichtig!
Folgende Rechenoperationen sind keine Äquivalenzumformungen:
- Quadrieren einer Gleichung.
- Ziehen der Quadratwurzel.
- Multiplikation mit \(0\).
Gilt eine Gleichung \(G_1\), so ist die durch Quadrieren daraus entstandene Gleichung \(G_2\) eine Folgerung von \(G_1\), aber nicht mehr äquivalent. Die durch Wurzelziehen entstehende Gleichung ist jedoch keine Folgerung der ursprünglichen Gleichung!
Fordert man zu einer Gleichung zusätzlich, dass die Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens immer nicht-negativ sind und bleiben, so ist das Quadrieren und das Wurzelziehen eine Äquivalenzumformung.
Man arbeitet hier dann aber nicht mehr mit Gleichungen, sonder mit Aussagen der Form "Bedingung plus Gleichung".
Wichtig!
Bei Umformungen mit variablen Termen (z.B. Multiplikation mit einem Ausdruck der Form \(2x+3\) muss man aufpassen, ob aus den Voraussetzungen dieser Term nicht doch null sein könnte, und hier dann doch keine Äquivalenzumformung passiert.