2. Rationale Gleichungen mit Brüchen

Theorie:

Eine rationale Gleichung, deren linke und rechte Seite Brüche enthält, wird Bruchgleichung genannt.
 
Um eine Bruchgleichung zu lösen, muss man:
 1. den gemeinsamen Nenner der Brüche finden;
 2. beide Seite der Gleichung mit diesem multiplizieren;
 3. die erhaltene Gleichung lösen;
 4. die Lösungen ausschließen, die im Nenner eingesetzt null ergeben.
Beispiel:
Löse die Bruchgleichung 3x−1+2=4−xx−1.
 
  
1. Finden wir zuerst die Werte der Variable, für die die Gleichung nicht definiert ist:
3x−1+2=4−xx−1x−1≠0deshalbx≠1
 
 
2. Wir bestimmen den gemeinsamen Nenner und multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit ihm:
3x−1+21=4−xx−13+2(x−1)x−1=4−xx−1|⋅x−1
 
3. Wir lösen die erhaltene Gleichung:
3+2(x−1)=4−x3+2x−2=4−x3x=3x=1
 
4. Bei \(x = 1\) ist die Gleichung nicht definiert, deshalb ist die Zahl \(1\) keine Lösung der Bruchgleichung. Also hat die Gleichung gar keine Lösung.  
 
Zur Lösung der Gleichung kann man die Haupteigenschaft der Proportion verwenden.
Die Haupteigenschaft der Proportion: Wennab=mn,dannista⋅n=b⋅m
 
 
Beispiel:
16x−12=19x+18istdefiniertfür6x−12≠09x+18≠0x≠2x≠−216x−12=19x+181⋅9x+18=1⋅6x−129x+18=6x−123x=−30x=−10−10≠2−10≠−2Lösung:x=−10Probe:16⋅−10−12=?19⋅−10+181−60−12=?1−90+181−72=?1−72

 
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