Theorie:
Ein Bruch, der mindestens eine Variable im Nenner oder Zähler enthält, heißt rationaler Ausdruck. Eine rationale Gleichung ist eine Gleichung, die mindestens einen solchen rationalen Ausdruck enthält.
Wenn \(r(x)\) ein rationaler Ausdruck ist, dann nennt man die Gleichung \(r(x) = 0\) rationale Gleichung.
Es ist uns möglich, rationale Gleichungen lösen, die wir zu linearen oder quadratischen Gleichungen umformen können.
Beispiel:
Löse die Gleichung .
Zuerst schreiben wir die Gleichung als .
Wir formen die linke Seite der Gleichung um (durch Erweitern auf gemeinsamen Nenner bringen) und erhalten:
.
Wir haben die Gleichung in die Form umgewandelt.
Erinnern wir uns: nur dann, wenn gleichzeitig zwei Bedingungen erfüllt werden:
1. der Zähler ist Null, dh. \((а = 0)\);
2. der Nenner ist ungleich Null, dh. .
Für den Zähler des Bruches erhalten wir
Es muss noch geprüft werden, ob die zweite Bedingung erfüllt ist. Die Bedingung bedeutet, dass . Die Werte erfüllen diese Bedingung, deshalb sind sie Lösungen der Gleichung.
Schritte zum Lösen einer rationalen Gleichung
2. Diesen Teil der Gleichung auf die Form des algebraischen Bruches bringen.
3. Die Gleichung \(p(x)=0\) lösen.
4. Für jede Lösung der Gleichung \(p(x)=0\) überprüfen, ob sie die Bedingung erfüllt oder nicht. Falls ja, dann ist diese Zahl eine Lösung der gesamten Gleichung, ansonsten darf sie nicht als Lösung verwendet werden.