Theorie:
Steht eine Variable in einer Gleichung unter der Wurzel, so nennt man diese Gleichung irrational.
Betrachten wir die irrationale Gleichung .
Wir quadrieren beide Seiten und erhalten . Wir sind von einer irrationalen zur rationalen Gleichung \(2x + 1 = 9\) übergangen.
Wichtig!
Das Quadrieren der beiden Seiten der Gleichung ist eine Methode zur Lösung von irrationalen Gleichungen.
Aus der Gleichung \(2x + 1 = 9\) finden wir \(x = 4\). Das ist die Lösung sowohl der Gleichung \(2х + 1 = 9\) als auch der gegebenen irrationalen Gleichung.
Betrachten wir die Gleichung .
Indem wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir:
.
Es ist also
\(2x - 4x = -7 +5\), deshalb \(x = 1\).
Aber der Wert \(x = 1\), der die Lösung der rationalen Gleichung \(2x - 5 = 4x - 7\) ist, ist keine Lösung der irrationalen Gleichung. Wenn wir \(x\) durch \(1\) in der irrationalen Gleichung ersetzen, erhalten wir nämlich .
Es ergibt sich, dass die gegebene irrationale Gleichung keine (reellen) Lösungen hat.
Wichtig!
Man löst eine irrationale Gleichung indem man beide ihrer Seiten quadriert. Nachdem man die so entstandene rationale Gleichung gelöst hat, muss man unbedingt überprüfen, ob alle vorkommenden Ausdrücke definiert sind.
Beispiel:
Löse die Gleichung .
Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung, so erhalten wir: .
Wir formen sie um und erhalten:
Probe. Wenn wir \(x = 5\) in die Gleichung einsetzen, erhalten wir , also eine wahre Aussage. Ebenso erhalten wir für \(x = 4\) die wahre Aussage . Also sind beide gefundenen Werte Lösungen der Gleichung .
Äquivalente Gleichungen
Zwei Gleichungen \(f (x) = g (x)\) und \(r(x) = s (x)\) heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen besitzen bzw. wenn beide Gleichungen keine Lösungen haben.
Äquivalenzumformungen sind folgende Rechenschritte:
Zum Beispiel ist das Umformen von \(2x + 5 = 7x - 8\) zu \(2x - 7x = - 8 - 5\) eine Äquivalenzumformung der Gleichung. Das bedeutet, dass die Gleichungen \(2x + 5 = 7x -8\) und \(2x - 7x = -8 - 5\) äquivalent sind.
2. Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten mit/durch dieselbe Zahl, die nicht Null sein darf.
Zum Beispiel ist die Umformung der Gleichung zu , in der beide Seiten mit \(10\) multipliziert werden, eine Äquivalenzumformung.
Keine Äquivalenzumformungen sind folgende Rechenschritte:
Zum Beispiel der Ersatz der Gleichung durch die Gleichung keine Äquivalenzumformung. Die Gleichung hat zwei Lösungen, nämlich \(2\) und \(- 2\), der Wert \(x = 2\) ist aber keine Lösung der ursprünglichen Gleichung, da dieser Wert nicht im Definitionsgebiet der Gleichung liegt - der Nenner würde Null werden.
2. Quadrieren beider Seiten der Gleichung.
Wichtig!
Wird beim Lösen der Gleichung eine dieser Umformungen angewendet, müssen alle gefundenen Lösungen in die Ausgangsgleichung eingesetzt und überprüft werden.