Theorie:
Arbeitet man mit trigonometrischen Ausdrücken, so kann es öft nützlich sein, die Formeln zu vereinfachen. Es kann einerseits die Lösung einer Aufgabe erleichtern (oder sogar erst ermöglichen), oder auch neue Zusammenhänge offenbaren. Manchmal kann man trigonometrische Ausdrücke so umformen, dass man auf trigonometrische Funktionen von Ausdrücken kommt, für die sich diese leicht explizit bestimmen lassen, so wie zum Beispiel \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\).
Das wohl wichtigste Werkzeug bei der Umwandlung und Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke sind die Addititonstheoreme für Sinus und Kosinus: Als Additionstheoreme für Winkelfunktionen werden Formeln bezeichnet, durch die die Funktionswerte von Summen und Differenzen von Winkeln durch Winkelfunktions-Werte einzelner Winkel ausgedrückt werden können. Die beiden Wichtigsten sind:
- Additionstheorem für den Sinus (Merkregel: "si-co plus co-si"):
\(\sin (x+y)=\sin x\cdot\cos y + \cos x\cdot \sin y\) (1)
- Additionstheorem für den Cosinus (Merkregel: "co-co minus si-si"):
\(\cos(x+y) = \cos x\cdot \cos y -\sin x\cdot \sin y\) (2)
Aus diesen Additionstheoremen kann man auch leicht die Formeln für den Sinus bzw. den Cosinus einer Differenz ableiten. Laut den obigen Additionstheoremen erhalten wir zunächst:
\(\sin(x-y) = \sin (x+(-y)) =\sin x\cdot\cos (-y) + \cos x\cdot \sin(- y )\),
\(\cos (x-y) = \cos (x+(-y)) = \cos x\cdot \cos (-y) -\sin x\cdot \sin (-y)\).
Dann nutzen wir aus, dass \(\cos\) eine gerade Funktion ist, d.h. für alle \(y\in\mathbb R\) gilt \(\cos (-y) = \cos y\). Der Sinus hingegen ist eine ungerade Funktion, also haben wir für alle \(y\in\mathbb R\) die Identität \(\sin(-y)= -\sin y\). Diese beiden Eigenschaften nutzen wir nun, um \(\sin(-y)\) und \(\cos(-y)\) in den beiden obigen Gleichungen zu ersetzen. Wir erhalten damit
\(\sin(x-y) =\cdots=\sin x\cdot\cos y - \cos x\cdot \sin y \),
\(\cos (x-y) = \cdots= \cos x\cdot \cos y +\sin x\cdot \sin y\).
Da man sich diese Ausdrücke leicht aus den Additionstheoremen herleiten kann, braucht man sie sich nicht extra zu merken!