Tangens einer Summe / Differenz — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Für alle erlaubten Werte der Argumente gelten die Formeln:

Tangens einer Summe der Argumente:

\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β}

(1)

Tangens einer Differenz der Argumente :

\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \cdot \tan β}

(2)

Für die Argumente muss gelten (damit der Tangens definiert ist):

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

α + β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

für die Formel (1),

α - β \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ

für die Formel (2).

Die Formeln werden nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik (besonders in der Radiotechnik) angewendet.

Man leitet die Formeln ab, indem man die Tangensfunktion bestimmt und die Formeln von Sinus und Kosinus einer Summe und Differenz der Argumente anwendet.

Wir leiten die Formel (1) her:

\tan (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β}

Man teilt jeden Summanden des Zählers und Nenners durch

\cos α \cdot \cos β

, dabei wird der Wert des Bruches nicht verändert und es ist

\cos α \cdot \cos β \neq 0

wegen den oben erwähnten Bedingungen

für die möglichen Werte der Argumente, d.h.

α \neq \frac{π}{2} + π k, β \neq \frac{π}{2} + π n k, n \in ℤ

. Dann gilt:

\tan (α + β) = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β} = \frac{\frac{\sin α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} + \frac{\cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}}{\frac{\cos α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} - \frac{\sin α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}} = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β}

Ebenso wird die Formel von Tangens einer Differenz der Argumente bewiesen:

\tan (α - β) = \frac{\sin (α - β)}{\cos (α - β)} = \frac{\sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β} = \frac{\frac{\sin α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} - \frac{\cos α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}}{\frac{\cos α \cdot \cos β}{\cos α \cdot \cos β} + \frac{\sin α \cdot \sin β}{\cos α \cdot \cos β}} = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \cdot \tan β}

Quellen:

Мордкович, А.Г. "Алгебра и начала математического анализа". Часть 1.

Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень).

Москва, "Мнемозина", 2009

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