Theorie:
Die ganzen Zahlen \(\mathbb Z\) sind nach wie vor nicht abgeschlossen bezüglich der Division. Manche ganze Zahlen lassen sich zwar dividieren, so zum Beispiel
\(\frac {56}{-7}=-8\).
Andere Divisionen liefern jedoch ein Ergebnis, das nicht in den ganzen Zahlen liegt, zum Beispiel \(\frac 32\), das Ergebnis hat die Dezimaldarstellung \(1,5\). Das ist aber keine ganze Zahl. Wir wollen nun \(\mathbb Z\) um "neue" Zahlen erweitern, so dass wir in der daraus entstehenden Zahlenmenge immer dividieren können, ohne aus der Menge herauszukommen.
Was den ganzen Zahlen fehlt, sind die (nicht-kürzbaren) Brüche! Wir erweitern also \(\mathbb Z\) um alle Brüche ganzer Zahlen, und definieren die darauf üblichen Rechenregeln für Addition, Multiplikation, Division und Subtraktion. Das Ergebnis dieser Erweiterung sind die rationalen Zahlen:
Die rationalen Zahlen \(\mathbb Q\) sind die Menge aller Brüche ganzer Zahlen:
\(\mathbb Q=\big\{x=\frac mn| m,n\in\mathbb Z \text{ und } n\neq 0\big\}\).
Die rationalen Zahlen sind eine Erweiterung der ganzen Zahlen, d.h. jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl: \(\mathbb Z\subset\mathbb Q\). Man kann ganze Zahlen schließlich auch als Bruch schreiben, z.B. \(9=\frac 91\).
Beispiel:
Folgende Zahlen sind alles rationale Zahlen:
- \(-54\)
- \(4\)
- \(\frac {74}{127}\)
- \(-\frac 75\)
- \(3,\!17\)
Und tatsächlich kommt man mit den Operationen Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division (außer durch null) nie aus den rationalen Zahlen heraus, das Ergebnis ist immer selber wieder eine rationale Zahl.
Die Menge der rationalen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division (außer durch null).
Wichtig!
"Brüche", deren Nenner null ist, sind keine rationalen Zahlen. Division durch null ist immer unzulässig.
Rationale Zahlen haben immer eine endliche oder eine unendliche, irgendwann periodische Dezimaldarstellung. Zahlen mit anderer Dezimaldarstellung sind nie rational, man nennt sie daher irrational.
- Die Dezimaldarstellung von \(\frac 78\) ist \(\frac 78=0,875\), sie ist also endlich.
- Die rationale Zahl \(\frac {11}7\) hat die Dezimaldarstellung \(\frac {11}7=1,\overline{714285}\), wobei der mit einem Strich gekennzeichnete Teil sich periodisch wiederholt.
- Die Quadratwurzel \(\sqrt 2\) ist keine rationale Zahl: Sie hat eine unendliche, aperiodische Dezimaldarstellung.