Theorie:
Bleibt man bei den Grundrechnungsarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division, so ist \(\mathbb Q\) abgeschlossen, und die Operationen führen nie aus \(\mathbb Q\) heraus. Das Rechenergebnis jeder mit diesen Grundrechnungsarten in \(\mathbb Q\) durchgeführten Rechnung ist wieder eine rationale Zahl (mit Ausnahme der Division durch null). Doch auch hier stößt man rasch an die Grenzen:
- Quadratwurzeln sind oft keine rationalen Zahlen mehr. Z.B. \(\sqrt 2\notin\mathbb Q\).
- Das Verhältnis Kreisumfang zu Durchmesser ist \(\pi=3,12159\ldots\), was nicht rational ist.
- Rationale Zahlen sind nur jene Zahlen, deren Dezimaldarstellung endlich oder irgendwann periodisch ist. Was ist mit all den anderen Dezimalzahlen (also den irrationalen Zahlen)?
Argumente wie diese motivieren die Definition der reellen Zahlen, die ihrerseits eine Erweiterung der rationalen Zahlen sind: Wir erweitern die rationalen Zahlen um alle irrationalen Zahlen.
Die reellen Zahlen \(\mathbb R\) sind alle Zahlen, die man durch eine (endliche oder unendlichen) Dezimaldarstellung darstellen kann.
Die reellen Zahlen sind eine Erweiterung der rationalen Zahlen, und wir können schreiben: \(\mathbb Q\subset\mathbb R\). Die Rechenregeln in \(\mathbb R\) sind uns ja schon bekannt. Und glücklicherweise stellt sich heraus, dass die reellen Zahlen auch bezüglich der Grundrechnungsarten abgeschlossen sind:
Die reellen Zahlen \(\mathbb R\) sind abgeschlossen bezüglich Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division (außer durch null). Die Quadratwurzel jeder nicht-negativen reellen Zahl ist wieder reell.
Mit reellen Zahlen kann man sehr viel machen, ohne so bald an Grenzen zu stoßen. Etwas später im Stoff werden wir noch einer letzten Erweiterung begegnen, den komplexen Zahlen. (Diese Erweiterung wird es uns ermöglichen, aus negativen Zahlen Wurzeln zu ziehen.) Es gibt offensichtlich "mehr" reelle Zahlen als rationale Zahlen. Dennoch:
Seien \(x<y\) zwei reelle Zahlen. Dann gibt es immer eine rationale Zahl \(q\), die dazwischen liegt:
\(x<q<y\).
Umgekehrt gilt auch: Sind \(q<r\) zwei rationale Zahlen. Dann gibt es immer eine reelle Zahl \(x\), die dazwischen liegt:
\(q<x<r\).
In der Tat liegen immer jeweils unendlich viele Zahlen dazwischen!