Theorie:
Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass im Dezimalsystem Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen beschrieben werden. Die Ziffern geben an, wieviel von welcher Zehnerpotenz zur Zahl beiträgt. So betrachtet könnte man sich fragen, was an der Basis \(10\) so besonders ist? Wieso nicht eine andere Basis wählen? Das funktioniert tatsächlich, und wird in manchen Bereichen ständig verwendet. Schauen wir uns genauer an, wie man Zahlen bezüglich einer anderen Basis darstellen könnte:
Wählen wir als Basis \(3\), und als Ziffern stehen uns nun nur \(\{0,1,2\}\) zur Verfügung. Zahlen werden nun mit Hilfe von Dreierpotenzen geschrieben! Schreiben wir der Reihe nach die ersten natürlichen Zahlen in der Basis \(3\):
- \(1=\underline{\mathbf{1}}\cdot 3^0\).
- \(2=\underline{\mathbf{2}}\cdot 3^0\).
- \(3=\underline{\mathbf{3}}\cdot 3^0=\underline{\mathbf{1}}\cdot 3^1+\underline{\mathbf{0}}\cdot 3^0\). Beachte: Die Einerstelle hat nicht mehr ausgereicht, und wir sind zur nächsten Stelle vorgerückt.
- \(4=\underline{\mathbf{1}}\cdot 3^1+\underline{\mathbf{1}}\cdot 3^0\).
- \(5=\underline{\mathbf{1}}\cdot 3^1+\underline{\mathbf{2}}\cdot 3^0\).
- \(6=\underline{\mathbf{2}}\cdot 3^1+\underline{\mathbf{0}}\cdot 3^0\). Der nächste Sprung - die Ziffer an der Stelle \(2\) ist um Eins größer geworden, und die Einerstelle beginnt wieder bei \(0\).
- \(7=\underline{\mathbf{2}}\cdot 3^1+\underline{\mathbf{1}}\cdot 3^0\).
- \(8=\underline{\mathbf{2}}\cdot 3^1+\underline{\mathbf{2}}\cdot 3^0\). Die nächste Zahl wird spannend...
- \(9=\underline{\mathbf{2}}\cdot 3^1+\underline{\mathbf{3}}\cdot 3^0=\underline{\mathbf{3}}\cdot 3^1+\underline{\mathbf{0}}\cdot 3^0=\underline{\mathbf{1}}\cdot 3^2+\underline{\mathbf{0}}\cdot 3^1+\underline{\mathbf{0}}\cdot 3^0\). Hier haben wir die dritte Stelle "eröffnet" (das ist wie der Sprung von \(99\) auf \(100\) im Dezimalsystem.)
Es scheint also zu funktionieren, Zahlen durch Potenzen von \(3\) auszudrücken. Der Unterschied zum Dezimalsystem ist bloß, dass die Ziffern sich nicht mehr auf Potenzen von \(10\) beziehen, sondern auf Potenzen von \(3\). Dass eine Darstellung einer Zahl sich auf die Basis \(3\) bezieht, kennzeichnen wir durch Klammern und einen tiefgestellten Dreier. Die Liste folgender Zahlen vergleicht nun immer die Dezimaldarstellung (links) mit der Darstellung zur Basis \(3\) (vergleiche auch mit obiger Liste):
- \(1=(1)_3\).
- \(2=(2)_3\).
- \(3=(10)_3\).
- \(4=(11)_3\).
- \(5=(12)_3\).
- \(6=(20)_3\).
- \(7=(21)_3\).
- \(8=(22)_3\).
- \(9=(100)_3\).
Die Ziffern auf der rechten Seite geben an, wieviel und welche Potenzen von \(3\) verwendet werden!
Dass wir typischerweise mit der Basis \(10\) arbeiten hat eigentlich nur historische Gründe - das hat sich eben so eingebürgert. Der ursprüngliche Grund lag vermutlich darin, dass Menschen (fast immer) \(10\) Finger haben, mit denen gezählt werden kann.