Theorie:
Im vorigen Abschnitt haben wir motiviert, dass man statt der Basis \(10\) durchaus auch andere Basen (wie zum Beispiel \(3\)) zur Darstellung von reellen Zahlen wählen könnte. Ganz allgemein gilt tatsächlich:
Sei \(b\in \mathbb N\) mit der Eigenschaft \(b\ge2\). Dann kann man jede reelle Zahl \(x\) auf folgende Art durch Potenzen von \(b\) ausdrücken:
\(x=a_n\cdot b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots a_2\cdot b^2+a_1\cdot b^1+a_0\cdot b^0 + a_{-1}\cdot b^{-1}+a_{-2}\cdot b^{-2}+\cdots\).
Dabei ist \(n\in\mathbb N\) eine passende Zahl (die Anzahl der Ziffern vor dem Komma, minus \(1\)). Die Zahlen \(a_n, a_{n-1}, \ldots\) liegen alle in der Menge \(\{0, 1,2,\ldots, b-1\}\), und sind die Ziffern. Die Zahl \(b\) ist die Basis.
Hat man die Ziffern aus obiger Darstellung die Ziffern \(a_n, a_{n-1}, \ldots\) bezüglich einer Basis \(b\) bestimmt, so kann man \(x\) wieder durch die Ziffern ausdrücken:
Die Darstellung einer reellen Zahl \(x\) durch die obigen Ziffern nennt man die Darstellung von \(x\) bezüglich der Basis \(b\) (oder \(b\)-adische Darstellung). Der Bezug zur Basis wird durch ein kleines tiefergestelltes \(b\) klargemacht:
\(x=(a_n\,a_{n-1}\ldots a_2\,a_1\,a_0\,,\, a_{-1} \, a_{-2}\,\ldots)_b\).
Beachte, dass es sich bei den Ziffern ab \(a_{-1}\) um Nachkommastellen handelt. Wenn \(b=10\), so lassen wir das tiefergestellte \(b\) weg, es handelt sich ja dann um eine Zahl in der Dezimaldarstellung.
Wenn für die Basis \(b\le 10\) gilt, so kommen wir mit den uns bekannten Ziffern \(\{0,1,\ldots, 9\}\) aus. An dieser Stelle lohnt es sich, hervorzuheben, dass diese Ziffern Symbole sind, denen wir einen Wert/eine Bedeutung zugewiesen haben. Und die Tatsache, dass wir ein Dezimalsystem (Basis \(10\)) verwenden, ist dafür verantwortlich, dass wir kein eigenes Symbol für \(10\) mehr haben - wir brauchen keines, weil wir \(10\) ja im Dezimalsystem mit den Ziffern \(1\) und \(0\) ausdrücken können. Wenn wir aber Zahlen in einer Basis \(b\ge 11\) darstellen wollen, brauchen wir schon Ziffernsymbole für die Ziffern mit einem Wert größer gleich \(10\). Man behilft sich hier üblicherweise dadurch, dass man (falls benötigt) für die Ziffern mit Wert \(10\) oder größer die Buchstaben \(A, B, C, \ldots\) verwendet (\(A=10, B=11,\ldots\)).
Zwei verbreitete Zahlensysteme sind die folgenden:
Binärsystem/Dualsystem
Im Binärsystem stellt man Zahlen zur Basis \(2\) dar. Man benötigt bloß die Ziffern \(\{0,1\}\). Diese Zahlen finden hauptsächlich in Computern Verwendung.
Hexadezimalsystem
Hier ist die Basis \(16\), und man ergänzt die Ziffern um die Buchstaben \(A, \ldots , F\). Dabei hat \(A\) den Wert \(10\) und \(F\) schließlich den Wert \(15\). Die Ziffernmenge ist also
\(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\}\).
Auch das Hexadezimalsystem findet hauptsächlich in der Informatik Verwendung.