Theorie:
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung \(2x^2 + 2x -4 = 0\).
Hier sind \(a=2\), \(b=2\) und \(c=-4\).
Wir berechnen zuerst die Diskriminante der großen Lösungsformel als \(D = b^2-4ac = 2^2 -4\cdot 2\cdot(-4) = 4+32 = 36 \).
Also ist \(D>0\), und wir haben zwei Lösungen, nämlich
\(x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\pm\sqrt{36}}{2\cdot 2} = \frac{-2\pm 6}{4} \) oder
\(x_1 = \frac{-2- 6}{4} = -\frac84 = -2\) und \(x_2 = \frac{-2+6}{4} = \frac44 = 1 \).
Hier sind \(a=2\), \(b=2\) und \(c=-4\).
Wir berechnen zuerst die Diskriminante der großen Lösungsformel als \(D = b^2-4ac = 2^2 -4\cdot 2\cdot(-4) = 4+32 = 36 \).
Also ist \(D>0\), und wir haben zwei Lösungen, nämlich
\(x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\pm\sqrt{36}}{2\cdot 2} = \frac{-2\pm 6}{4} \) oder
\(x_1 = \frac{-2- 6}{4} = -\frac84 = -2\) und \(x_2 = \frac{-2+6}{4} = \frac44 = 1 \).
Beispiel:
In der Gleichung \(3x^2 - 2x +10 = 0\) sind \(a=3\), \(b=-2\) und \(c=10\).
Die Diskriminante ist \(D = b^2-4ac = (-2)^2 -4\cdot 3\cdot10 = 4-120 = -116 \).
Das ist negativ; somit hat die Gleichung keine Lösung, und wir brauchen nicht weiter zu rechnen.
Die Diskriminante ist \(D = b^2-4ac = (-2)^2 -4\cdot 3\cdot10 = 4-120 = -116 \).
Das ist negativ; somit hat die Gleichung keine Lösung, und wir brauchen nicht weiter zu rechnen.
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung \(2x^2 - 8x + 8 = 0\) mit \(a=2\), \(b=-8\) und \(q=8\).
Die Diskriminante ist \(D = b^2-4ac = (-8)^2 -4\cdot 2\cdot8 = 64-64 = 0\).
Hier ist \(D=0\); wir haben also nur eine Lösung, nämlich
\(x = \frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a} = \frac{+8}{2\cdot 2} = 2\, \).
Die Diskriminante ist \(D = b^2-4ac = (-8)^2 -4\cdot 2\cdot8 = 64-64 = 0\).
Hier ist \(D=0\); wir haben also nur eine Lösung, nämlich
\(x = \frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a} = \frac{+8}{2\cdot 2} = 2\, \).
Man kann mit der großen Lösungsformel sogar eine Version der kleinen Lösungsformel produzieren:
In der Standardform für die kleine Lösungsformel hat die quadratische Gleichung die Form
\[ x^2 +px+q =0 \,.\]
Das entspricht der Form für die große Formel, mit \(a=1\), \(b=p\) und \(c=q\,\). Setzen wir das in die große Formel ein, erhalten wir
\[ x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac\,}}{2a} = \frac{-p\pm \sqrt{p^2-4\cdot 1 \cdot q}}{2\cdot 1} =\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \,. \]
Wenn man aber gleich mit der großen Lösungsformel rechnet, kommt man fast ohne Mehraufwand auf das gleiche Ergebnis, wenn man \(a=1\) bedenkt und damit \(a\) in den Produkten ignorieren kann (natürlich sind dann \(b=p\) und \(c=q\)).