Theorie:
Die Gleichung in der Form nennt man biquadratische Gleichung ("bi" bedeutet zwei, dh. "zweimal quadratische" Gleichung ).
Die Methode des Einsetzens neuer Variablen (Substitution) ist uns schon bekannt. Betrachten wir, wie man diese Methode zur Lösung biquadratischer Gleichungen anwendet.
Beispiel:
Löse die Gleichung .
Dazu definieren wir die neue Variable . Es folgt , also kann man die gegebene Gleichung in die Form bringen.
Das ist eine quadratische Gleichung. Finden wir die Lösungen dieser Gleichung mit der großen Lösungsformel:
Da , haben wir zwei Gleichungen:
Aus der ersten Gleichung erhalten wir , die zweite Gleichung hat keine Lösungen.
Antwort:
Jede beliebige biquadratische Gleichung wird ebenso gelöst, wie die Gleichung im obigen Beispiel: man definiert die neue Variable , löst die quadratische Gleichung bezüglich der Variable \(y\), dann kehrt man zur Variable \(x\) zurück.
Folgendes Beispiel zeigt, dass man die neue Variable auch anders definieren kann:
Beispiel:
Löse die Gleichung .
Wir multiplizieren je zwei Summanden aus und erhalten so:
Also kann man die gegebene Gleichung in der Form aufschreiben.
Wir verwenden als neue Variable .
Mithilfe dieser Variable kann man die Gleichung schreiben als
Die Lösungen dieser Gleichung sind die Zahlen \(4\) und \(-6\).
Indem wir zur Variablen \(x\) zurückkehren, erhalten wir zwei Gleichungen:
In der ersten Gleichung finden wir , die zweite Gleichung hat keine Lösungen.