1. Lineare Funktion und ihrer Graph

Theorie:

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form \(y = kx + d\), wobei \(x\) eine unabhängige Variable ist, bzw. \(k\) und \(d\) konstante reelle Zahlen sind.
Wenn man einen \(x\)-Wert kennt, kann man den entsprechenden \(y\)-Wert berechnen.
Nehmen wir an, dass \(y = 0,5x - 2\).
Dann gilt:
wenn  \(x = 0\), dann ist \(y = - 2\);
wenn  \(x = 2\), dann ist \(y = - 1\);
wenn  \(x = 4\), dann ist \(y = 0\) usw.
 
Man kann eine Wertetabelle aufstellen:
\(x\)\(0\)\(2\)\(4\)
\(y\)\(-2\)\(-1\)\(0\)
\(x\) - unabhängige Variable (oder das Argument),
\(y\) - abhängige Variable.
Der Graph der linearen Funktion \(y = kx + d\) ist eine Gerade.
Um den Graph der gegebenen Funktion zu zeichnen, benötigen wir die Koordinaten von zwei Punkten, die am Graph der Funktion liegen.
 
Wir tragen im Koordinatensystem die Punkte \((0;-2)\) und \((4;0)\) ein. Dann ziehen wir durch die beiden Punkte eine Gerade.
 
lineara1.png
 
Beispiel:
In einem Lager befinden sich \(500\) t Kohle. Jeden Tag kommen \(30\) t Kohle hinzu. Wie viel Kohle wird sich nach \(2\); \(4\) und \(10\) Tagen im Lager befinden?
 
Wenn \(x\) Tage vergangen sind, dann lässt sich Menge \(y\) der Kohle (in Tonnen) durch die Formel \(y = 500 + 30x\) ausdrücken.
 
Also beschreibt die lineare Funktion \(y = 30x + 500\) diese Situation.
Wenn \(x = 2\) erhalten wir \(y = 560\);
Wenn \(x = 4\) erhalten wir \(y = 620\);
Wenn \(x = 10\) erhalten wir \(y = 800\) usw.
Man muss aber berücksichtigen, dass in dieser Situation x∈ℕ.
Wenn man bei der linearen Funktion \(y = kx + d\)  nicht alle \(x\)-Werte, sondern einen Teil der \(x\)-Werte von einer Zahlenmenge \(X\) berücksichtigt, dann schreibt man y=kx+d,x∈X.
Beispiel:
Zeichne den Graph der linearen Funktion:
a) y=−2x+1,x∈−3;2  b) y=−2x+1,x∈−3;2
 
Stellen wir eine Wertetabelle auf:
\(x\)\(-3\)\(2\)
\(y\)\(7\)\(-3\)
 
Wir zeichnen im Koordinatensystem die Punkte \((-3;7)\) und \((2;-3)\) ein, dann ziehen wir durch sie eine Gerade.
 
 
Diese Gerade ist der Graph der linearen Funktion y=−2x+1,x∈−3;2.
 
 
lineara2.png
 
b) Im zweiten Fall ist die Funktion dieselbe, nur werden die Werte \(x=-3\) und \(x=2\) nicht berücksichtigt, denn sie gehören nicht zum Intervall \((-3;2)\). 
Deshalb sind die Punkte \((-3;7)\) und \((2;-3)\) auf der Zeichnung hell markiert.
 
lineara3.png
 
Indem man den Graph der linearen Funktion untersucht, kann man den größten und den kleinsten Wert der linearen Funktion angeben.
 
Im Fall
a) y=−2x+1,x∈−3;2 erhalten wir, dass ymax\(= 7\) und ymin\(= -3\),
b) y=−2x+1,x∈−3;2 gilt, dass die lineare Funktion weder einen größten noch einen kleinsten Wert hat, weil beide Enden der Strecke, in denen die größten und kleinsten Werte erreicht wurden, nicht berücksichtigt werden.
Eine lineare Funktion kann steigen oder fallen.
Wenn \(k>0\), dann steigt die lineare Funktion  \(y = kx + d\);
Wenn \(k<0\), dann fällt die lineare Funktion  \(y = kx + d\).
 
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