2. Eigenschaften der Funktion y=k/x und ihr Graph

Im vorigen Kapitel haben wir die Funktion $y=\frac{k}{x}$ mit \(k= 1\) betrachtet. Nehmen wir nun an, dass \(k\) eine positive Zahl \(\neq 1\) ist, zum Beispiel \(k = 2\).

Betrachten wir die Funktion $y=\frac{2}{x}$ und legen eine Wertetabelle an:

 

Tragen wir die gegebenen Punkte in die Koordinatenfläche ein und verbinden die Punkte, so erhalten wir:

 

 

Der Funktionsgraph \(y = -f(x)\) ist symmetrisch zum Funktionsgraphen \(y = f(x)\) bezüglich der \(x\)-Achse. Das bedeutet, dass der Funktionsgraph $y=-\frac{1}{x}$ symmetrisch ist zum Funktionsgraphen $y=\frac{1}{x}$. Wir erhalten eine Hyperbel, deren Zweige im zweiten und vierten Quadranten liegen.

 

 

Der Graph der Funktion $y=\frac{k}{x}$, $k\ne 0$ ist eine Hyperbel, deren Zweige im ersten und dritten Quadranten liegen, wenn \(k > 0\), und im zweiten und vierten Quadranten, wenn \(k < 0\).

Man sagt, dass die Größen \(x\) und \(y\) umgekehrt proportional zueinander sind, wenn sie durch das Verhältnis \(xy = k\) (wobei \(k\) eine Zahl, die \(0\) ungleich ist) verbunden sind, bzw. $y=\frac{k}{x}$ erfüllen.

Um die Eigenschaften dieser Funktion zu beschreiben, untersuchen wir ihren Graphen, die Hyperbel:

 

 

1. Das Definitionsgebiet der Funktion besteht aus allen Zahlen, außer \(x = 0\).

2. Es ist \(y > 0\), wenn \(x > 0\) und \(y < 0\), wenn \(x < 0\).

3. Die Funktion fällt auf den Intervallen $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\mathit{und}\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$, d.h. im gesamten Definitionsbereich.

4. Die Funktion ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.

5. Die Funktion hat keinen größten oder kleinsten Funktionswert.

6. Sie ist stetig auf den Intervallen $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\mathit{und}\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ (also im gesamten Definitionsbereich) und nur in \(x = 0\) unstetig.