Theorie:
Die Funktion
In diesem Kapitel werden wir die Funktion untersuchen.
Der Koeffizient \(k\) kann beliebige Werte außer \(k = 0\) annehmen. Betrachten wir zuerst den Fall \(k = 1\), also die Funktion .
Um den Funktionsgraphen von zu zeichnen, setzen wir einige Werte für die Variable \(x\) ein und berechnen anhand der Formel die Werte von \(y\).
Erster Schritt: Positive Argumente
Wenn \(x = 1\), dann ist \(y = 1\);
wenn \(x = 2\), dann ;
wenn \(x = 4\), dann ;
wenn \(x = 8\), dann ;
wenn , dann \(y = 2\);
wenn , dann \(y = 4\);
wenn , dann \(y = 8\).
Wir erhalten folgende Tabelle:
\(x\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | |||
\(y\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
Wir zeichnen diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Zweiter Schritt: Negative Argumente
wenn \(x = -1\), dann \(y = -1\);
wenn \(x = -2\), dann ;
wenn \(x= -4\), dann ;
wenn \(x = -8\), dann ;
wenn , dann \(y = -2\);
wenn , dann \(y = -4\);
wenn , dann \(y = -8\).
Wir erhalten:
\(x\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-4\) | \(-8\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
\(y\) | \(-1\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-2\) | \(-4\) | \(-8\) |
Wir zeichnen die Punkte ein.
Wenn wir beide Teile in ein Koordinatensystem einzeichnen, erhalten wir:
Das ist der Funktionsgraph von , man nennt ihn Hyperbel.
Eigenschaften einer Hyperbel:
Eine Hyperbel ist symmetrisch. Jede beliebige Gerade, die durch den Koordinatenursprung \(O\) gezogen ist, und im ersten und dritten Quadrant liegt, schneidet die Hyperbel in zwei Punkten, die auf dieser Geraden auf verschiedenen Seiten, aber im gleichen Abstand vom Punkt \(O\) liegen. Das sind zum Beispiel die Punkte \((1; 1)\) und \((- 1; - 1)\), und usw.
Der Ursprung \(O\) ist also das Symmetriezentrum der Hyperbel.
Die Hyperbel besteht aus zwei, bezüglich des Ursprungs symmetrischen Linien, man nennt sie Zweige der Hyperbel.
Jede Seite jedes Zweigs der Hyperbel nähert sich einer Geraden an, diese nennt man Asymptote.
Der Funktionsgraph , d.h. die Hyperbel, besitzt zwei Asymptoten: die \(x\)-Achse und \(y\)-Achse.
Wichtig!
Die Hyperbel hat nicht nur ein Symmetriezentrum, sondern auch Symmetrieachsen.
Wir sehen, dass die Punkte auf verschiedenen Seiten der Gerade liegen, aber im gleichen Abstand. Sie sind symmetrisch bezüglich dieser Gerade. Dasselbe gilt auch für die Punkte usw. Also ist die Gerade \(y =x\) die Symmetrieachse der Hyperbel . Analog ist auch \(y = -x\) eine Symmetrieachse.