2. Eigenschaften der homogenen quadratischen Funktion

Wir untersuchen die Eigenschaften dieser Funktion anhand ihres Graphen.

 

 

1. Man kann mittels der Formel $y=k{x}^2$ für jeden beliebigen \(x\)-Wert einen \(y\)-Wert finden. 

Die Definitionsmenge ist $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$, d.h. die ganze Zahlengerade.

 

2. \(y = 0\), wenn \(x = 0\); \(у > 0\), wenn $x\ne 0$. Wenn $x\ne 0$, dann ist $k{x}^2>0$ als das Produkt zweier positiven Zahlen \(k\) und $x^2$.

 

3. $y=k{x}^2$ ist eine stetige Funktion.

 

4.  $y_{\mathit{min}}=0$ und wird erreicht, wenn \(х = 0\); $y_{\mathit{max}}$ existiert nicht.

 

5. Die Funktion $y=k{x}^2$ steigt, wenn $x\ge 0$, und fällt, wenn $x\le 0$.

 

 

Also ist $y=k{x}^2$ \((k > 0)\) eine nach unten beschränkte Funktion.    

 

Gibt es eine solche Gerade für die Parabel $y=k{x}^2$, wobei \(k > 0\)? Da die Funktionswerte \(y\) mit zunehmendem \(x\) immer weiter und über jede gegebene Grenze steigen, kann es keine solche Gerade geben. Also ist die Funktion nicht nach oben beschränkt.

 

6. Die Funktion $y=k{x}^2$ \((k > 0)\) ist nach unten beschränkt.

 

7. Der Wertebereich der Funktion $y=k{x}^2$ \((k>0)\) ist $\left[0;\left.+\mathrm{\infty }\right)\right.$.

 

Analog zum Fall \(k>0\) betrachten wir wieder den Graphen der Funktion.