Theorie:
Wenn eine Gleichung bezüglich der Variablen \(x\) gelöst werden soll, und mit dem Buchstaben \(a\) eine willkürliche reelle Zahl bezeichnet wird, dann nennt man eine Gleichung mit dem Parameter \(a\).
Die Gleichung mit dem Parameter zu lösen bedeutet alle Parameterwerte zu finden, bei denen die gegebene Gleichung eine Lösung hat.
Bei einigen Parameterwerten hat die Gleichung keine Lösungen, bei anderen unendlich viele Lösungen, bei wiederum anderen eine endliche Anzahl von Lösungen. Je nach Parameterwert kann auch die Lösungsmethode unterschiedlich ausfallen.
Mann muss alle diese Fälle im Laufe der Lösung in Betracht ziehen.
Gleichungen mit Parameter können sowohl linear, als auch nicht linear sein.
Analog werden auch Ungleichungen mit einem Parameter definiert.
Eine Ungleichung mit einem Parameter zu lösen, bedeutet herauszufinden, welche Lösung der Ungleichung für welchen Parameterwert existiert.
Beispiel:
Löse die Ungleichung (bezüglich \(x\)):
Wir formen um und erhalten:
In Abhängigkeit vom Wert \(a\), sind drei Fälle der Lösung möglich:
- Wenn \(a<0\), dann
- Wenn \(a=0\), dann .
- Wenn \(a>0\), dann
Löse die Gleichung (bezüglich \(x\)):
In Abhängigkeit vom Wert \(a\) sind drei Fälle der Lösung möglich:
- Wenn \(a=0\), dann nimmt die Gleichung die Form
an. - Wenn \(a=2\), dann nimmt die Gleichung die Form
an. - Wenn , dann kann man beide Teile der Gleichung durch \(a\) dividieren (da \(a \neq 0\)). Wir erhalten