2. Zahlausdrücke und algebraische Ausdrücke

Theorie:

Ein Term oder algebraischer Ausdruck ist ein Komplex aus Zahlen und Buchstaben, die durch arithmetische Rechenoperationen und Klammern verbunden sind.
 
Beispiel:
3+5⋅7−4 ist ein Term.
3+:−5 ist kein Term, sondern eine Aufzählung von Symbolen, die mathematisch keinen Sinn ergibt.
a2−3b ist ein algebraischer Ausdruck
 
Die Buchstaben, die einen Bestandteil des Terms bilden, können verschiedene Zahlenwerte haben (d.h. man kann die Werte der Buchstaben verändern). Diese Buchstaben nennt man Variablen.
Algebraische Ausdrücke können vereinfacht werden, indem man verschiedene Regeln, Gesetze, Eigenschaften und Formeln benutzt. Dabei werden oft die Gesetze der Addition und Multiplikation verwendet.
 
Gesetze der Addition.
1) Die Reihenfolge der Summanden kann beim Rechnen vertauscht werden. Der Wert der Summe ändert sich dadurch nicht:
a+b=b+a - das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) der Addition
2) Ob die Klammer die ersten beiden Summanden zusammenfasst, oder den zweiten und dritten, ist für den Wert der Summe ohne Belang:
a+b+c=a+b+c - das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Addition
 
Gesetze der Multiplikation.
1) Die Reihenfolge der Faktoren kann beim Multiplizieren vertauscht werden. Der Wert des Produktes ändert sich dadurch nicht:
a⋅b=b⋅a - das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) der Multiplikation
2) a⋅b⋅c=a⋅b⋅c - das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Multiplikation
3) Steht ein Faktor vor einer Klammer mit einer Summe oder Differenz, so ändert sich das Ergebnis nicht, wenn man den Faktor mit jeder Zahl in der Klammer multipliziert und dann addiert bzw. subtrahiert:
a+b⋅c=ac+bc - das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) der Multiplikation bezüglich der Addition
 
 
Man kann den Wert eines algebraischen Ausdrucks nur dann angeben, wenn allen Buchstaben, die darin vorkommen, Werte zugeordnet sind.
 
Zum Beispiel ist der Wert von a2−3b \(= 298\), wenn \(a=-16\) und \(b=-14\), denn
 
a2−3b=−162−3⋅−14=256+42=298,  der algebraische Ausdruck a2−3a+2 hat den Wert \(-6,5\), wenn \(a=-4\), denn
−42−3−4+2=16−3−2=13−2=−6,5.
 
Derselbe Ausdruck a2−3a+2  ist nicht definiert für \(a=-2\), denn a+2=−2+2=0, d.h. der Nenner würde null werden. Man kann jedoch nicht durch Null dividieren!
 
Wenn der algebraische Ausdruck für bestimmte Werte der Variablen definiert ist, nennt man diese Werte zulässig.
 
Die Werte der Variablen, für die der Ausdruck nicht definiert ist, nennt man unzulässig.
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