Theorie:
- Zwei Mengen \(A, B\) heißen gleich, \(A=B\), wenn in beiden Mengen dieselben Elemente enthalten sind.
- Die Menge \(B\) heißt Teilmenge von \(A\), \(B\subseteq A\), wenn jedes Element der Menge \(B\) auch in der Menge \(A\) enthalten ist:
- Die Menge \(B\) heißt echte Teilmenge von \(A\), \(B\subset A\), wenn jedes Element der Menge \(B\) auch in der Menge \(A\) enthalten ist, die Mengen jedoch nicht gleich sind (dh. \(A\) enthält mehr Elemente als \(B\)).
Sind \(A\) und \(B\) gleiche Mengen, \(A=B\) dann gilt: \(A\subseteq B \wedge B\subseteq A\).
Das heißt, fü zwei gleiche Mengen jedes Element der ersten Menge auch in der zweiten Menge enthalten ist und umgekehrt, jedes Element der zweiten auch in der ersten liegt.
Verknüpfung von Mengen
\(A\cap B=\{x\in G| x\in A\wedge x \in B\}\) ist der Durchschnitt von \(A\) und \(B\). Das sind also die Elemente der Grundmenge, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) liegen.
\(A\cup B=\{x\in G| x\in A\vee x \in B\}\) ist die Vereinigung von \(A\) und \(B\). Das sind die Elemente der Grundmenge, die entweder in \(A\) oder in \(B\) liegen.
\(A\setminus B=\{x\in G| x\in A\wedge x \notinin B\}\) ("\(A\) ohne \(B\)") heißt Differenz von \(A\) und \(B\). Das sind die Elemente der Grundmenge, die in \(A\), aber nicht in \(B\) liegen. Analog ist \(B\setminus A=\{x\in G| x\in B\wedge x \notinin A\}\) ("\(B\) ohne \(A\)") heißt Differenz von \(B\) und \(A\). Das sind die Elemente der Grundmenge, die in \(B\), aber nicht in \(A\) liegen.
Beinhalten die zwei Mengen \(A\) und \(B\) kein gemeinsames Element, so ist ihr Durchschnitt eine Menge, die keine Elemente enthält, die sogenannte leere Menge.
Die Menge, die keine Elemente enthält, \(\{ \}\) bzw. \(\emptyset\), wird als leere Menge bezeichnet.
Enthalten die Mengen \(A\) und \(B\) keine gemeinsamen Elemente, so heißen sie disjunkt und es gilt, dass \(A\cap B=\emptyset\).
Für jede beliebige Menge \(M\) gilt, dass \(\emptyset\subseteq M\).
Für \(A\subseteq G\) ist das Komplement von \(A\) in \(G\) definiert als \(A^c=G\setminus A=\{x\in G|x\notin A\}\).
