Theorie:
Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von voneinander unterscheidbaren Dingen zu einem Ganzen. Die Objekte, die zusammengefasst werden, nennt man Elemente der Menge.
Wichtige Beispiele sind:
- die Menge \(\mathbb{N}\) der natürlichen Zahlen \({0, 1,2,3,....}\)
- die Menge \(\mathbb{Z}\) der ganzen Zahlen \({...-2,-1,0,1,2,..}\)
- die Menge \(\mathbb{R}\) der reellen Zahlen
- etc.
Um anzugeben, dass ein Element \(x\) in der Menge \(M\) liegt, schreibt man \(x\in M\) ("\(x\) ist ein Element der Menge \(M\)", "\(x\) liegt in \(M\)"). Umgekehrt, falls \(x\) nicht in der Menge liegt, schreiben wir \(x\notin M\) ("\(x\) ist kein Element aus \(M\)", "\(x\) liegt nicht in \(M\)").
Es gilt:
\(x\notin M\Leftrightarrow \neg (x \in M)\).
Eine Menge kann man auf verschiedene Arten darstellen:
- aufzählende Form, z. B.: \(M=\{1,2,3\}\);
- mithilfe eines Mengenbildes (Venn-Diagramm):
- beschreibende Form, z.B.: \(B=\{x\in \mathbb{R}|-1\leq x\leq 3\}\).
Dabei bezeichnen wir Mengen mit großen Buchstaben, die Elemente von Mengen meist mit kleinen Buchstaben bzw. geben sie explizit an.
Die Elemente einer Menge müssen nicht immer Zahlen sein. Wir können etwa eine Ebene \(E\) als (unendliche) Menge von Punkten auffassen. Wir schreiben \(P\in E\), wenn der Punkt \(P\) in der Ebene liegt bzw. \(Q \notin E\), wenn der Punkt \(Q\) nicht in \(E\) liegt.
