Theorie:
Aussagen beginnen häufig mit "Für alle..." oder "Es gibt...". Sie werden All- bzw. Existenzaussagen genannt.
Mit eine Aussage wie zum Bespiel "Es gibt ein \(x\)..." ist gemeint "Es gibt mindestens ein \(x\)...", es kann also mehr als ein \(x\) geben.
Wir schreiben:
\(\forall x\) ("für alle \(x\)") bzw. \(\exists x\) ("es gibt ein \(x\)"). Diese Zeichen heißen All- bzw. Existenzquantoren.
Eine Existenzaussage kann man beweisen, indem man ein Beispiel angibt, eine Allaussage kann man mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
Beispiel:
Die Aussage "Es gibt eine Zahl \(x\) mit \(x^2=9\)" wird bewiesen, indem man als Beispiel \(x= 3\) oder \(x=-3\) angibt.
Die Aussage "Alle ungeraden Zahlen sind durch \(3\) teilbar" lässt sich widerlegen, indem man als Gegenbeispiel etwa \(7\) angibt.
Verneinungen
Existenz- bzw. Allaussagen werden wie folgt verneint:
Aussage: Für alle \(x\) gilt... Verneinung: Es gibt (mindestens) ein \(x\), für das nicht gilt...
Aussage: Es gibt (mindestens) ein \(x\) mit... Verneinung: Für alle \(x\) gilt nicht...
Beispiel:
Aussage: Für alle \(x\) gilt \(x\leq 5\). Verneinung: Für mindestens ein \(x\) gilt, dass \(x>5\).
Aussage: Es gibt (mindestens) ein \(x\) mit \(x>2\) Verneinung: Für alle \(x\) gilt \(x\leq 2\).