2. Parabel und ihre Gleichung

 

Die Symmetrieachse der Parabel wird die Parabelachse genannt. Der Punkt, in dem die Parabel ihre Achse schneidet, ist der Scheitelpunkt der Parabel (in der obigen Zeichnung ist das der Punkt \(A\)).

 

Um diese Gleichung der Parabel herzuleiten, legen wir die Parabel so, dass die \(x\)-Achse durch den Brennpunkt senkrecht zur Leitlinie verläuft. Der Koordinatenursprung liegt in der Mitte zwischen der Leitlinie und dem Brennpunkt.

Man bezeichnet den Abstand zwischen der Leitlinie und dem Brennpunkt mit \(p\). Da der Scheitel der Parabel genau in der Mitte zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie liegt, sind die Koordinaten des Brennpunktes $F\left(\frac{p}{2};0\right)$, und die Gleichung der Leitlinie $x=-\frac{p}{2}$.

D.h. der Abstand eines Punkts $M\left(x;y\right)$ auf der Parabel zum Brennpunkt beträgt

$\mathit{FM}=\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$,

und der Abstand desselben Punkts zur Leitlinie beträgt $\mathit{MN}=x+\frac{p}{2}$.

Die beiden Abstände müssen gleich sein, deshalb gilt 

$\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=x+\frac{p}{2}$.

Durch Vereinfachen erhalten wir: