Hyperbel und ihre Gleichung — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Die Hyperbel besteht aus allen Punkten, deren Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten (den Brennpunkten

F_{1}

und

F_{2}

) gleich einem konstanten Wert (kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten) ist.

Abbildung:

|F_{1} M - F_{2} M| = Const

Der Abstand der Brennpunkte \(F_{1,2}\) zum Mittelpunkt \(O\) wird die Brennweite der Hyperbel genannt.

Ordnet man die Brennpunkte der Hyperbel auf der \(x\)-Achse symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs an - in den Punkten

F_{1} (- c; 0)

und

F_{2} (c; 0)

- und wird der Differenzbetrag der konstanden Abstände mit \(2a \)bezeichnet, sieht die Gleichung der Hyperbel so aus:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

(wobei

b^{2} = c^{2} - a^{2}

Diese Gleichung wird die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage genannt.

Man bekommt diese Gleichung auf die folgende Weise:

Der Abstand vom Punkt

M (x; y)

zum Punkt

F_{1} (- c; 0)

ist gleich

\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}}

, und der Abstand desselben Punktes zum Punkt

F_{2} (c; 0)

ist gleich

\sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}

. Daraus drückt man die Gleichung

|\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}| = 2 a

aus, und wandelt sie folgendermaßen um:

\begin{array}{l} \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} \pm 2 a \\ {(x + c)}^{2} + y^{2} = {(x - c)}^{2} + y^{2} + 4 a^{2} \pm 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} \\ cx - a^{2} = \pm a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} \\ c^{2} x^{2} - 2 a^{2} cx + a^{4} = a^{2} x^{2} - 2 a^{2} cx + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} \\ (c^{2} - a^{2}) x^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2}) \\ b^{2} x^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{array}

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1. Hyperbel und ihre Gleichung