Anwenden des Satzes von de L'Hospital — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Der Satz von de l'Hospital wird für unbestimmte Ausdrücke der Form

\frac{0}{0}

verwendet.

Man nimmt an, dass die Funktionen

f (x)

und

g (x)

definiert sind und dass sie in einer gewissen Umgebung von \(a\) (außerhalb des Punktes \(a\)) Ableitungen besitzen, sowie

\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} g (x) = 0

und

g' (x) \neq 0

Wenn es einen (endlichen oder unendlichen) Grenzwert für das Verhältnis der Ableitungen gibt, dh.

\lim_{x \to a} \frac{f' (x)}{g' (x)}

, so gibt es auch einen Grenzwert des Quotienten der Funktionen, nämlich:

\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} \frac{f' (x)}{g' (x)}

Dasselbe Gesetz gilt für einen unbestimmten Ausdruck der Form

\frac{\infty}{\infty}

Beispiel:

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} - 1)'}{x'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{1} = e^{0} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{x'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1

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