Unbestimmter Ausdruck 0 × ∞ — Theoretisches Material. Mathematik, 11. Schulstufe.

Die unbestimmte Ausdrücke

0 \cdot \infty

und

\infty - \infty

kann man in die unbestimmten Ausdrücke

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

umwandeln.

Wenn man den Grenzwert

\lim_{x \to a} g (x) h (x)

berechnen will, wobei \(g(x)\) gegen null, und \(h(x)\) gegen unendlich strebt, kann man das Produkt so verändern, dass man einen der unbestimmten Ausdrücke bekommt:

\lim_{x \to a} g (x) h (x) = \lim_{x \to a} \frac{g (x)}{\frac{1}{h (x)}} oder \lim_{x \to a} \frac{h (x)}{\frac{1}{g (x)}}

Beispiel:

\lim_{x \to 0} x \ln x = \lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = (\frac{\infty}{\infty}) = \lim_{x \to 0} \frac{(\ln x)'}{{\frac{1}{x}}^{'}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}} = - \lim_{x \to 0} x = 0

\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (e^{x} - 1) \cot (x) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\frac{1}{\cot x}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\tan x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} - 1)'}{(\tan x)'} = \\ = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} - 1)'}{(\tan x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{1}{\cos^{2} x}} = 1 \end{array}

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5. Unbestimmter Ausdruck 0 × ∞

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