2. Rechnen mit Binomialverteilungen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von $20$ Münzwürfen jeweils genau die Hälfte Kopf bzw. Zahl ergeben?

Lösung:
Von $n=20$ Münzwürfen sollen also $k=10$ Zahl ergeben. Die Einzelwahrscheinlichkeit beträgt $p=0,5$. Wir erhalten also
$\begin{array}{l}P(X=10)=\left(\begin{array}{c}20\\ 10\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,5}}^{10}\cdot {\mathrm{0,5}}^{10}=184756\cdot \frac{1}{1024}\cdot \frac{1}{1024}\\ =\mathrm{0,17619}...=\mathrm{17,619}...\%\end{array}$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim dreimaligen Werfen eines sechsseitigen Würfels mindestens zwei Sechser zu werfen?

Lösung:
Es gilt
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3)$
wobei $n=3$ und $p = \frac 16$.
Wir berechnen also
$\begin{array}{l}P(X=2)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^1=3\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{5}{6}\\ =\frac{5}{72}=\mathrm{0,069444}...=\mathrm{6,94}...\%\end{array}$
und
$\begin{array}{l}P(X=3)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^3\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^0=1\cdot \frac{1}{216}\cdot 1\\ =\frac{1}{216}=\mathrm{0,0046296}...=\mathrm{0,46}...\%\end{array}$
und erhalten so
$P(X\geq 2) = P(X=2) + P(X=3) = \frac{2}{27} = 0,074074... ) = 7,407...\ \%$

Die in einer Fabrik hergestellten Produkte sind mit einer Wahrscheinlichkeit von $2\ \%$ schadhaft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von $100$ zufällig gewählten Produkten mindestens zwei defekt sind?

Lösung:
Anstatt alle Wahrscheinlichkeiten von $k=2$ bis $k=100$ auszurechnen, können wir auch zunächst die entsprechende Gegenwahrscheinlichkeit bestimmen - also die Wahrscheinlichkeit, dass maximal ein Produkt schadhaft ist. Diese besteht aus nur zwei Termen:
$P(X\leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$
wobei $n=100$ und $p=0,02$ sind.
Wir berechnen also
$\begin{array}{l}P(X=0)=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,02}}^0\cdot {\mathrm{0,98}}^{100}\\ ={\mathrm{0,98}}^{100}=\mathrm{0,132619}...=\mathrm{13,26}...\%\end{array}$
und
 $\begin{array}{l}P(X=1)=\left(\begin{array}{c}100\\ 1\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,02}}^1\cdot {\mathrm{0,98}}^{99}=100\cdot \mathrm{0,02}\cdot {\mathrm{0,98}}^{99}\\ =\mathrm{0,270652}...=\mathrm{27,06}...\%\end{array}$
und erhalten so
$P(X\leq 1) = 0,403271... = 40,32...\ \%$.
Davon müssen wir nun bloß noch die Gegenwahrscheinlichkeit bilden und erhalten
$P(X\geq 2) = 1- P(X\leq 1) = 1- 0,403271... = 0,596728... = 59,67...\ \%$