Theorie:
Wir haben in vergangenen Kapiteln bereits viel über Wahrscheinlichkeiten gelernt. Hier wollen wir uns nun einer besonders wichtigen und häufigen Art von Wahrscheinlichkeitsrechnung widmen, der sogenannten Binomialverteilung.
Binomialverteilungen treten immer dann auf, wenn ein Zufallsexperiment nur zwei verschiedene Ausgänge hat und mehrmals wiederholt wird. Ein solches Experiment wird auch Bernoulli-Experiment genannt.
Beispiel:
Ein typisches Beispiel für ein Bernoulli-Experiment ist das wiederholte Werfen einer Münze. Die Anzahl der 'Kopf'-Ergebnisse ist dabei (ebenso wie die Anzahl der 'Zahl'-Ergebnisse) binomialverteilt.
Typische Fragestellungen in diesem Zusammenhang haben die Form 'Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(n\) Wiederholungen \(k\) Mal das Ergebnis \(A\) auftritt?', wobei die Einzelwahrscheinlichkeit \(p\) für dieses Ereignis gegeben ist.
Führen wir das Experiment also zunächst ein einziges Mal durch, erhalten wir mit Wahrscheinlichkeit \(p\) das Ergebnis \(A\). Wiederholen wir dies \(k\) Mal, erhalten wir mit einer Wahrscheinlichkeit von
\(\underbrace{p\cdot p\cdot … \cdot p}_{k\ \text{Mal}} = p^k\)
jedes Mal das Ergebnis \(A\). Nun verbleiben \(n-k\) weitere Wiederholungen, die als Ergebnis das Gegenereignis (also 'nicht \(A\)') haben sollen. Ihre Wahrscheinlichkeit ist jeweils \(1-p\), insgesamt also \((1-p)^{n-k}\).
Die Wahrscheinlichkeit, bei \(n\) Wiederholungen zunächst \(k\) Mal das Ergebnis \(A\) und anschließend nur noch das Gegenergebnis zu erhalten, beträgt also \(p^k\cdot (1-p)^{n-k}\).
Nun müssen wir noch die unterschiedlichen möglichen Reihenfolgen in Betracht ziehen: Natürlich müssen die \(A\) nicht alle unmittelbar hintereinander und ganz zu Beginn auftreten. Wir wissen aus der Kombinatorik, dass es
verschiedene Möglichkeiten gibt, wie \(k\) Ergebnisse '\(A\)' auf \(n\) Experimente verteilt werden können (wobei das Rufzeichen '!' die Fakultät bedeutet - siehe dazu Kombinatorik).
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass bei \(n\) Wiederholungen genau \(k\) Mal \(A\) auftritt, ist somit
wobei \(p\) die Wahrscheinlichkeit für \(A\) bei einem einzelnen Experiment ist.