Theorie:
In manchen Situationen müssen wir unsere Formeln etwas an die Gegebenheiten anpassen. Der häufigste solche Fall ist, dass in der Grundmenge mehrere identische Elemente vorkommen.
Beispiel:
Auf wie viele Arten lassen sich die Buchstaben des Wortes "SEE" anordnen?
Wir können sehr schnell abzählen, dass es genau drei Möglichkeiten gibt:
SEE, ESE und EES.
Unsere Formel für die Anzahl der Permutationen einer Menge mit drei Elementen liefert jedoch
\(3! = 6\)
Möglichkeiten.
Das liegt daran, dass die Formel zwischen den beiden "E"s unterscheidet - jede der drei Möglichkeiten wird also doppelt gezählt (je einmal mit dem "ersten" E zuerst und einmal mit dem "zweiten" E zuerst).
Wir können sehr schnell abzählen, dass es genau drei Möglichkeiten gibt:
SEE, ESE und EES.
Unsere Formel für die Anzahl der Permutationen einer Menge mit drei Elementen liefert jedoch
\(3! = 6\)
Möglichkeiten.
Das liegt daran, dass die Formel zwischen den beiden "E"s unterscheidet - jede der drei Möglichkeiten wird also doppelt gezählt (je einmal mit dem "ersten" E zuerst und einmal mit dem "zweiten" E zuerst).
In solchen Fällen müssen wir die gleichen Möglichkeiten wieder "herausrechnen". Dazu können wir ebenfalls die Permutationsformel benutzen: Wir berechnen die Anzahl der Gesamtmöglichkeiten (inklusive der doppelten bzw. mehrfachen Buchstaben) und dividieren dann durch die Anzahl der Permutationen dieser mehrfachen.
Formal können wir dies folgendermaßen anschreiben:
Es gibt
\(\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot ... \cdot n_l!}\)
unterschiedliche Möglichkeiten, \(n\) Elemente zu ordnen, wenn \(n_1\), \(n_2\), ... und \(n_l\) die Anzahlen der jeweils gleichen Elemente sind.
Beispiel:
Wie viele unterschiedliche Reihenfolgen gibt es für die Buchstaben des Wortes "SCHNEEHASE"?
Der Buchstabe E kommt drei Mal, das H und das S je zwei Mal und alle anderen Buchstaben je einmal vor. Das Wort hat insgesamt zehn Buchstaben. Wir haben also
\(n = 10\)
\(n_1 = 3\)
\(n_2 = 2\)
\(n_3=2\)
Wir könnten für die anderen Buchstaben auch noch \(n_4 = 1\), \(n_5 = 1\), usw. anschreiben, dies ist jedoch nicht notwendig (da mit diesen Zahlen multipliziert wird und eine Multiplikation mit eins das Ergebnis nicht verändert).
Wir erhalten so mithilfe unserer Formel
\(\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!} = \frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!} = 151\ 200\)
unterschiedliche Buchstabenreihenfolgen.
Der Buchstabe E kommt drei Mal, das H und das S je zwei Mal und alle anderen Buchstaben je einmal vor. Das Wort hat insgesamt zehn Buchstaben. Wir haben also
\(n = 10\)
\(n_1 = 3\)
\(n_2 = 2\)
\(n_3=2\)
Wir könnten für die anderen Buchstaben auch noch \(n_4 = 1\), \(n_5 = 1\), usw. anschreiben, dies ist jedoch nicht notwendig (da mit diesen Zahlen multipliziert wird und eine Multiplikation mit eins das Ergebnis nicht verändert).
Wir erhalten so mithilfe unserer Formel
\(\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!} = \frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!} = 151\ 200\)
unterschiedliche Buchstabenreihenfolgen.
