Theorie:
Betrachten wir nun Kombinationen, also Ziehungen, bei denen wir die Reihenfolge nicht beachten. Wie zuvor unterscheiden wir Fälle mit und ohne Wiederholungen der Einzelergebnisse.
Kombination ohne Wiederholungen
Kombinationen ohne Wiederholungen kommen überall dort zum Einsatz, wo aus einer gegebenen Menge eine Teilmenge ausgewählt wird.
Um die Anzahl der Möglichkeiten solcher Kombinationen zu bestimmen, können wir unsere bisherigen Ergebnisse benutzen. Betrachten wir zunächst eine Variation ohne Wiederholungen (wir erinnern uns, dass sich diese nur dadurch von der Kombination unterscheidet, dass wir auf die Reihenfolge der gezogenen Elemente achten).
Wir wissen bereits, dass es
\(\frac{n!}{(n-k)!}\)
verschiedene Möglichkeiten gibt, aus einer Menge von \(n\) Elementen \(k\) Elemente auszuwählen, wenn wir zwischen verschiedenen Reihenfolgen unterscheiden. Außerdem wissen wir, dass es in jedem dieser Fälle für diese \(k\) Elemente \(k!\) verschiedene Reihenfolgen (Permutationen) gibt. Wir erhalten somit die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholungen zu
\(\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\).
Da wir relativ oft mit Ausdrücken dieser Form zu tun haben werden, können wir hierfür eine eigene Schreibweise einführen; den sogenannten Binomialkoeffizienten \(\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\) (gesprochen "n über k").
Viele Taschenrechner haben auch hierfür eine eigene Funktionstaste.
Viele Taschenrechner haben auch hierfür eine eigene Funktionstaste.
Für eine \(n\)-elementige Grundmenge gibt es
\(\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\)
verschiedene Möglichkeiten, \(k\) Elemente auszuwählen (Kombinationen ohne Wiederholung).
\(\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\)
verschiedene Möglichkeiten, \(k\) Elemente auszuwählen (Kombinationen ohne Wiederholung).
Beispiel:
Beim klassischen Poker bekommt jede Spielerin und jeder Spieler fünf der insgesamt \(52\) Karten. Wie viele unterschiedliche Kartenhände gibt es bei diesem Spiel?
Hier werden fünf von \(52\) Karten gezogen. Da die Reihenfolge unerheblich ist und jede Karte nur einmal vorkommt, handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholungen. Wir setzen also \(n = 52\) und \(k = 5\) in die Formel ein und erhalten
\(\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 52\\ 5\end{array}\right = \frac{52!}{(52-5)!\cdot 5!} = \frac{52!}{47!\cdot 5!} = \frac{8,0658...\cdot 10^{67}}{2,5862...\cdot 10^{59}\cdot 120} = 2\ 598\ 960\).
Es gibt also etwa \(2.6\) Millionen verschiedene Pokerblätter.
Hier werden fünf von \(52\) Karten gezogen. Da die Reihenfolge unerheblich ist und jede Karte nur einmal vorkommt, handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholungen. Wir setzen also \(n = 52\) und \(k = 5\) in die Formel ein und erhalten
\(\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 52\\ 5\end{array}\right = \frac{52!}{(52-5)!\cdot 5!} = \frac{52!}{47!\cdot 5!} = \frac{8,0658...\cdot 10^{67}}{2,5862...\cdot 10^{59}\cdot 120} = 2\ 598\ 960\).
Es gibt also etwa \(2.6\) Millionen verschiedene Pokerblätter.
Kombination mit Wiederholungen
Kombinationen mit Wiederholungen spielen nur selten eine Rolle. Der Vollständigkeit halber wollen wir sie dennoch kurz betrachten (der Einfachheit halber wollen wir auf die Herleitung der Formel jedoch verzichten).
Bei einer Grundmenge von \(n\) Elementen gibt es
\(\left(\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k \end{array}\right) = \frac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\)
unterschiedliche Kombinationen, wenn Wiederholungen zugelassen werden.
Beispiel:
Drei Spielwürfel werden gleichzeitig geworfen. Wie viele unterschiedliche Ergebnisse sind möglich, wenn zwischen den Würfeln nicht unterschieden wird?
Hier haben wir es mit einer Kombination (weil zwischen den Würfeln bzw. deren unterschiedlichen möglichen Reihenfolgen nicht unterschieden wird) mit Wiederholung (da jeder Würfel dieselben möglichen Ergebnisse hat). Dabei ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse \(n = 6\) und die Anzahl der "Ziehungen" \(k = 3\).
Wir setzen also ein und erhalten
\(\left(\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k \end{array}\right) = \(\left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}\right) = 56\)
verschiedene mögliche Würfelergebnisse.
Hier haben wir es mit einer Kombination (weil zwischen den Würfeln bzw. deren unterschiedlichen möglichen Reihenfolgen nicht unterschieden wird) mit Wiederholung (da jeder Würfel dieselben möglichen Ergebnisse hat). Dabei ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse \(n = 6\) und die Anzahl der "Ziehungen" \(k = 3\).
Wir setzen also ein und erhalten
\(\left(\begin{array}{c} n + k - 1 \\ k \end{array}\right) = \(\left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}\right) = 56\)
verschiedene mögliche Würfelergebnisse.
Quellen:
Karten - Alexander Canas Arango / Shutterstock.com