Theorie:
Um nicht jedes Mal alle möglichen Vorbedingungen durchrechnen zu müssen können wir bedingte Wahrscheinlichkeiten auch direkt berechnen:
\(P(A|B) = \frac{P(A, B)}{P(B)}\) bzw.
\(P(B|A) = \frac{P(A, B)}{P(A)}\).
Durch Verbinden dieser beiden Gleichungen können wir eine dieser beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten durch die andere ausdrücken. Dies ist der sogenannte Satz von Bayes:
Satz von Bayes:
Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) für das Ergebnis \(A\) unter der Bedingung \(B\) lässt sich durch die bedingte Wahrscheinlichkeit für \(B\) unter der Bedingung \(A\) ausdrücken als
\(P(B|A) = \frac{P(A| B)\cdot P(B)}{P(A)}\).
Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|B)\) für das Ergebnis \(A\) unter der Bedingung \(B\) lässt sich durch die bedingte Wahrscheinlichkeit für \(B\) unter der Bedingung \(A\) ausdrücken als
\(P(B|A) = \frac{P(A| B)\cdot P(B)}{P(A)}\).
Beispiel:
Wir versuchen, eine zufällig gewählte Ziffer (also eine einstellige Zahl) zu erraten. Da wir nichts über die Zahl wissen, ist jeder Tipp gleichermaßen wahrscheinlich (mit einer Wahrscheinlichkeit von je \(\frac 1 {10}\).
Bekommen wir jedoch den Hinweis, dass die Zahl z.B. größer als \(6\) ist, so haben wir zwei verschiedene Möglichkeiten:
- Tippen wir auf eine Zahl, die höchstens \(6\) ist, liegen wir mit der Wahrscheinlichkeit
\(P(X = x \leq 6\ |\ X > 6) = \frac{P(X = x \leq 6,\ X> 6)}{P(X > 6} = \frac{0}{0,3} = 0\)
richtig. Mit anderen Worten: Wir liegen absolut sicher falsch. - Tippen wir hingegen auf eine Zahl über \(6\), so haben wir eine Erfolgswahrscheinlichkeit von
\(P(X = x > 6\ |\ X > 6) = \frac{P(X = x > 6,\ X > 6)}{P(X>6)} = \frac{0,1}{0,3} = \frac 1 3 = 33,\dot 3\ \%\).