Theorie:
Beim Arbeiten mit bedingten Wahrscheinlichkeiten können Bilder besonders hilfreich sein, sich gegebene Sachverhalte vorzustellen. Dabei bieten sich besonders sogenannte Baumdiagramme an, bei denen aufeinanderfolgende Zufallsereignisse, deren mögliche Ergebnisse und Auswirkungen aufeinander kompakt und übersichtlich dargestellt werden können.
Bei einem Baumdiagramm wird jedes Ereignis als ein Punkt dargestellt, von dem aus für jedes mögliche Ergebnis eine Linie wegführt. Typischerweise wird am Ende der Linie das Ergebnis angeschrieben und die Linie selbst wird mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit beschriftet.
Beispiel:
Das folgende Baumdiagramm stellt einen einfachen Münzwurf dar, bei dem jedes der beiden möglichen Ergebnisse ('Kopf' und 'Zahl') eine Wahrscheinlichkeit von je \(50\ \%\) haben:
Finden mehrere Zufallsereignisse statt, so werden diese in einem Baumdiagramm so aneinandergefügt, dass von jedem Ergebnis des ersten Ereignisses alle möglichen Ausgänge des zweiten Ereignisses ausgehen.
Beispiel:
In einem Sack befinden sich zehn rote und fünf weiße Kugeln. Drei davon sollen nacheinander zufällig gezogen werden.
Dieses Baumdiagramm zeigt die möglichen Ausgänge und Wahrscheinlichkeiten dieser Ziehungen:
Jede durchgehende Linie vom Start des Diagramms (also dem ersten Ereignis) bis ganz unten (also zu einem Ergebnis des letzten Ereignisses) nennen wir einen Pfad des Diagramms.
Die Multiplikations- und die Additionsregel lassen sich folgendermaßen auf Baumdiagramme umsetzen:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pfad (mit all seinen Teilergebnissen) realisiert wird, ist das Produkt aus allen Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. (Multiplikationsregel)
- Die Wahrscheinlichkeit, dass einer von mehreren Pfaden realisiert wird, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade. (Additionsregel)
In diesem Zusammenhang werden die beiden Regeln auch unter dem Namen Pfadregeln zusammengefasst.