Theorie:
Manchmal stehen Wahrscheinlichkeiten nicht einfach fest (wie im vorigen Kapitel) sondern hängen davon ab, was vor dem jeweiligen Zufallsereignis passiert ist.
Beispiel:
In einem undurchsichtigen Beutel befinden sich drei schwarze und drei weiße Kugeln. Aus dem vorigen Kapitel wissen wir bereits, dass die Wahrscheinlichkeit, bei einer Zufallsziehung eine schwarze bzw. weiße Kugel zu ziehen jeweils bei
\(P(schwarz) = P(weiß) = \frac{3}{6} = \frac 1 2 = 50\ \%\)
liegen.
\(P(schwarz) = P(weiß) = \frac{3}{6} = \frac 1 2 = 50\ \%\)
liegen.
Ziehen wir nun aber auch noch eine zweite Kugel, so ändern sich diese Wahrscheinlichkeiten. Nun sind insgesamt nur noch fünf Kugeln im Beutel.
- Wurde im ersten Durchgang eine weiße Kugel gezogen, so befinden sich nun noch drei schwarze und zwei weiße Kugeln im Beutel. Die Wahrscheinlichkeiten bei der zweiten Ziehung eine schwarze bzw. weiße Kugel zu ziehen sind daher in diesem Fall
\(P(schwarz) = \frac{3}{5} = 60\ \%\) und
\(P(weiß) = \frac{2}{5} = 40\ \%\). - War die erste gezogene Kugel schwarz, so verhält es sich genau umgekehrt: Es befinden sich noch zwei schwarze und drei weiße Kugeln im Beutel und die Wahrscheinlichkeiten für die zweite Ziehung sind
P(schwarz) = \frac{2}{5} = 40\ \%\) und
P(weiß) = \frac 3 5 = 60\ \%\).
Wir sehen also, dass sich Wahrscheinlichkeiten nicht nur verändern können, sie können auch davon abhängen, welche Ergebnisse frühere Zufallsereignisse geliefert haben. Solche Wahrscheinlichkeiten nennen wir bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Um nicht jedes Mal ausführlich anschreiben zu müssen, unter welchen Bedingungen welche Wahrscheinlichkeit wie groß ist, hat sich eine Kurzschreibweise für bedingte Wahrscheinlichkeiten durchgesetzt:
\(P(A|B)\) ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis \(A\) unter der Voraussetzung \(B\).
Die Wahrscheinlichkeiten aus dem obigen Beispiel lassen sich damit vereinfacht folgendermaßen schreiben:
Beispiel:
Nennen wir das Ergebnis der ersten Ziehung \(X_1\) und jenes der zweiten Ziehung \(X_2\), dann können wir die obigen Wahrscheinlichkeiten schreiben als
\(P(X_2 = schwarz\ |\ X_1 = weiß) = \frac{3}{5} = 60\ \%\),
\(P(X_2 = schwarz\ |\ X_1 = weiß) = \frac{3}{5} = 60\ \%\),
\(P(X_2 = weiß\ |\ X_1 = weiß) = \frac{2}{5} = 40\ \%\),
\(P(X_2 = schwarz\ |\ X_1 = schwarz) = \frac{2}{5} = 40\ \%\) und
\(P(X_2 = weiß\ |\ X_1 = schwarz) = \frac{3}{5} = 60\ \%\).