Theorie:
Potenz eines Produkts
Wenn wir ein Produkt potenzieren, können wir dies tun, indem wir den Exponenten an jeden Faktor einzeln hinschreiben. Das sieht man am besten an einem Beispiel:
\[ \left( a b \right)^3 = (a \cdot b ) \cdot (a \cdot b ) \cdot (a \cdot b) = \cdots \]
Auf der rechten Seite können wir die Klammern aber weglassen, da in dem Ausdruck nur Multiplikationen vorkommen (und somit das Assoziativgesetz gilt). Auch dürfen wir die Reihenfolge der Faktoren vertauschen (Kommutativgesetz), so dass der Ausdruck als
\[ \cdots = a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot b = \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{a^3} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot b}_{b^3} = a^3 b^3 \]
geschrieben werden kann.
Also ist \( \left( a b \right)^3 = a^3 b^3 \), was man durch Überlegen leicht für beliebige natürliche Exponenten verallgemeinern kann. Als allgemeine Regel ist die Potenz eines Produkts
| \(\left( a b \right)^n = a^n b^n \) |
Potenz eines Quotienten
Auch bei einem Quotienten gilt eine ähnliche Regel, wie wir anhand des folgenden Beispiels sehen:
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^3 = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a \cdot a}{b \cdot b \cdot b} = \frac{a^3}{b^3} \]
Auch diese Beziehung \( \left( \frac{a}{b} \right)^3 = \frac{a^3}{b^3} \) gilt natürlich auch für andere Exponenten. Die allgemeine Regel ergibt die Potenz eines Quotienten
| \[ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \] |
Die beiden Regeln lassen sich einerseits kombinieren, andererseits gilt die Regel für die Potenz eines Produkts auch bei mehr als zwei Faktoren. So kann man z.B. schreiben
\[ \left( \frac{abc}{de} \right)^4 = \frac{a^4b^4c^4}{d^4e^4} \,. \]
Potenz einer Summe oder Differenz: Vorsicht!
Bei einer Summe oder Differenz kann man die oben erklärten Regeln nicht auf die selbe Weise anwenden! Für den Exponenten 2 haben wir z.B. die binomischen Formeln
\[ \left( a+b \right)^2 =a^2 + 2ab + b^2 \,, \]
und dies ist nicht dasselbe wie \(a^2 + b^2\). Genauso gilt bei einer Differenz
\[ \left( a-b \right)^2 =a^2 - 2ab + b^2 \neq a^2 - b^2 \,. \]
Ebensowenig funktioniert dies bei höheren Exponenten. Bei Potenzen von Summen und Differenzen ist also Vorsicht geboten; in diesem Fall müssen wir z.B. binomische Formeln anwenden. Die linke und rechte Seite unten sind daher normalerweise nicht gleich:| \[ \left( a\pm b \right)^n \neq a^n \pm b^n \] |
Gleichheit würde nur bei dem uninteressanten Fall \(n=1\) gelten.