Theorie:
Erweiterung der Potenzschreibweise
Wir haben bisher nur Potenzen betrachtet, bei denen im Exponenten eine natürliche Zahl steht. Diese natürliche Zahl gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird:
\[ x^n = \underbrace{x \cdot x \cdots x }_{n \text{ Faktoren }x} \]
Auch 1 wurde als Exponent zugelassen, mit der Bedeutung \( x^1=x\). Allerdings scheinen Null oder negative Zahlen als Exponent keinen Sinn zu ergeben, denn wie sollte man \(0\) oder gar \(-1\) Faktoren der Basis hinschreiben?
Es gibt aber eine Möglichkeit, diese Fälle sinnvoll zu definieren, indem wir eine Einschränkung des 2. Potenzgesetzes aufheben: Bisher gilt das 2. Potenzgesetz
nur für zwei natürliche Zahlen \(m\) und \(n\), von denen die erste die größere Zahl ist (\(m>n\)). Wenn wir diese Einschränkung fallen lassen und dabei fordern, dass die Potenzgesetze immer noch richtig sind, erhalten wir sinnvolle Werte für Exponenten, die \(0\) oder negativ sind.
Null als Exponent
Lassen wir beim 2. Potenzgesetz zu, dass \(m\) und \(n\) auch gleich groß sein dürfen, dann behauptet das Gesetz:
\[ \frac{x^m}{x^m} = x^{m-m}= x^0 \;. \]
Andererseits kürzen sich in diesem Fall der Zähler und der Nenner vollständig heraus:
\[ \frac{x^m}{x^m} = 1 \;. \]
Wenn also das 2. Potenzgesetz auch für \(m=n\) seine Gültigkeit behalten soll, muss gelten:
| \(x^0=1\) |
Diese Regel gilt unabhängig von der Basis. Sie ist auch sinnvoll, weil dann das 1. Potenzgesetz weiter gilt. Denn nach ihm wäre \(x^n \cdot x^0=x^{n+0} = x^n\), und die einzige Zahl, die \(x^n\) beim Multiplizieren nicht ändert, ist die Eins, also muss \(x^0=1\) sein.