Theorie:
Das 1. Potenzgesetz
Das 1. Potenzgesetz beschreibt, wie zwei Potenzen der selben Basis miteinander multipliziert werden. Nehmen wir beispielsweise das folgende Produkt:
\[ x^2 \cdot x^3 = \underbrace{x \cdot x }_{x^2} \cdot \underbrace{x \cdot x \cdot x}_{x^3} = x^5 \]
Wir sehen beim Ausschreiben der Potenzen, dass bei der Multiplikation von \(x^2\) und \(x^3\) die Basis \(x\) insgesamt \(2+3=5\) mal als Faktor vorkommt. Dieses Verhalten gilt allgemein: Nehmen wir zwei natürliche Zahlen \(m\) und \(n\), dann ist
\[ x^m \cdot x^n = \underbrace{x \cdot x \cdots x }_{m \text{ Faktoren }x} \cdot \underbrace{x \cdot x \cdots x }_{n \text{ Faktoren }x} = \underbrace{x \cdot x \cdots x \cdot x \cdot x \cdots x }_{m+n \text{ Faktoren }x} = x^{m+n} \]
Damit können wir das 1. Potenzgesetz formulieren, das zunächst nur für natürliche Zahlen \(m\) und \(n\) gilt:
Das 2. Potenzgesetz
Das 2. Potenzgesetz hilft beim Dividieren zweier Potenzen der selben Basis. Zum Beispiel ergibt der Quotient
\[ \frac{x^5}{x^3} = \frac{\overbrace{x \cdot x \cdot x}^{x^3} \cdot \overbrace{x \cdot x}^{x^2}}{\underbrace{x \cdot x \cdot x}_{x^3}} = x^2 \;, \]
da sich die gemeinsamen drei Faktoren \(x\) bzw. die \(x^3\) in Zähler und Nenner herauskürzen. Von den ursprünglich 5 Faktoren \(x\) bleiben nach Kürzen von 3 davon also \(5-3=2\) übrig. Während die Multiplikation von Potenzen eine Addition der Exponenten bewirkt, führt die Division nun zu einer Subtraktion.
Das lässt sich verallgemeinern, solange im Zähler die höhere Potenz als im Nenner steht: Nehmen wir also zwei natürliche Zahlen \(m\) und \(n\), von denen die erste die größere Zahl ist (\(m>n\)), dann gilt das 2. Potenzgesetz:
Das 3. Potenzgesetz
Das 3. Potenzgesetz beschreibt, wie wir eine Potenz nochmals potenzieren. Betrachten wir z.B. den Ausdruck \( \left(x^2 \right)^3\) und schreiben die Faktoren aus, so erhalten wir
\[ \left(x^2 \right)^3 = \left(x\cdot x \right)^3 = \underbrace{x \cdot x }_{x^2} \cdot \underbrace{x \cdot x }_{x^2} \cdot \underbrace{x \cdot x }_{x^2} = x^{3\cdot 2} = x^6 \,.\]
Wenn wir dies auch mit anderen Zahlen probieren, erkennen wir bald als allgemeine Regel, dass sich bei der Bildung der Potenz einer Potenz die beiden Exponenten immer multiplizieren. Diese Regel wird durch das 3. Potenzgesetz formuliert:
| \(\left(x^m \right)^n = x^{m\cdot n} \) |