Theorie:
Negative Exponenten
Wir erlauben beim 2. Potenzgesetz auch noch den Fall, dass im Zähler der kleinere Exponent steht, also dass \(m < n\). Das sehen wir am besten an einem Beispiel; etwa \(m=3\) und \(n=5\), dann folgt aus dem Gesetz:
\[ \frac{x^3}{x^5} = x^{3-5}= x^{-2} \;. \]
Hier haben wir also schon einen negativen Exponenten.
Alternativ können wir den gemeinsamen Faktor \(x^3\) in der Ausgangsgleichung herauskürzen und erhalten:
\[ \frac{x^3}{x^5} = \frac{x^3}{x^3 \cdot x^2} = \frac{1}{x^2} \;. \]
Wir sehen also, dass \( x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) eine sinnvolle Festlegung ist, die wir ganz allgemein so ansetzen können (das macht man sich am besten mit verschiedenen Beispielen wie oben klar):
Wichtig!
Bedeutung einer Potenz mit negativem Exponenten:
| \(x^{-n}=\frac{1}{x^n}\) |
Wir sehen, dass ein negativer Exponent nichts mit dem Vorzeichen des Ergebnisses zu tun hat, sondern damit, dass die Potenz mit dem entsprechenden positiven Exponenten in den Nenner wandert.
Beispiel:
Man kann sich auch klarmachen, dass nur mit dieser Regelung das 1. Potenzgesetz weiter funktioniert, wenn negative Exponenten zugelassen werden. Beispielsweise besagt das 1. Potenzgesetz für einen solchen Fall \(x^3 \cdot x^{-2} = x^{3+(-2)} = x^1 = x \), und die einzige Zahl, die mit \(x^3\) multipliziert \(x\) ergibt, ist \( \frac{1}{x^2}\), denn nur über eine Division durch \( x^2\) kommt man von \(x^3\) auf \(x\). Also muss z.B. \( x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) sein.