Theorie:
Negative Zahlen als Basis
Was passiert, wenn eine negative Zahl potenziert wird? Die allgemeine Regel finden wir heraus, indem wir der Reihe nach die Potenzen einer negativen Zahl, etwa \( -2 \), hinschreiben. Da Potenzen stärker binden als Punkt oder Strich, müssen wir die negative Zahl vor dem Potenzieren einklammern, denn es bedeuten z.B.:
- \( -2^4 \): hier bildet man zuerst \( 2^4 = 16 \) und nimmt dann das Negative vom Ergebnis, weil die Potenz nach den Vorrangregeln zuerst gebildet werden muss und dann erst das Minuszeichen wirkt — also ist \( -2^4 = -16 \).
- \( (-2)^4 \): hier nimmt man zuerst die Zahl \( -2 \) und bildet dann deren 4. Potenz, weil die Klammer nun die Vorrangregeln ändert, so dass zuerst das Minuszeichen wirkt — und das ist das, was wir hier wollen. In diesem Fall ist \( (-2)^4 = +16 \), wie wir gleich sehen werden.
Wenn wir also die Potenzen von \( -2 \) bilden, erhalten wir
- \( (-2)^1 = -2 = -2^1 \), da ja ein Exponent von 1 nur die Basis selbst liefert.
- \( (-2)^2 = (-2)(-2) = 2^2 = 4 \), denn Minus mal Minus ergibt Plus.
- \( (-2)^3 = (-2)^2(-2) = -2^3 = -8 \); ein weiteres Minus daran multipliziert erzeugt wieder Minus.
- \( (-2)^4 = (-2)^3(-2) = 2^4 = 16 \); noch ein Minus ergibt wieder Plus.
- ...usw.
Insgesamt haben wir die allgemeine Regel, dass die Potenzen von negativen Zahlen den gleichen Zahlenwert haben wie die Potenzen der jeweils entsprechenden positiven Zahl. Ist der Exponent ungerade, ist auch das Ergebnis negativ; bei geradem Exponent ist es positiv. Als Formel ausgedrückt:
Wichtig!
Man sollte diesen Fall klar unterscheiden von einer Potenz mit negativem Exponenten:
- Ist die Basis negativ, kann das Resultat der Potenz negativ sein, wenn der Exponent ungerade ist.
- Ist der Exponent negativ (aber die Basis positiv), ist das Resultat trotzdem immer positiv, und es gilt die bereits gefundene Formel: \[x^{-n}=\frac{1}{x^n}\]
- Aufgrund dieser Formel gilt die oben eingerahmte Beziehung auch für negative Basen und negative Exponenten, denn \[(-a)^{-n}=\frac{1}{(-a)^n}\;,\]und dieser Bruch ist dann positiv/negativ, wenn der Nenner positiv/negativ ist, also wenn \(n\) (und damit auch \(-n\)) gerade/ungerade ist.
Beispiel:
Wir vereinfachen Potenzen von \(-x\). Nach den gefundenen Regeln ist z.B. \((-x)^5 = -x^5\); oder es ist \((-x)^{-4} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}\).